FEUILLE D'EXERCICES n° 3 Octobre 2013 TS1
EXERCICE 1
Soit la suite récurrente définie par
u0 = 0,5
un + 1 = (1 - un ) un pour tout n dans IN
Soit f la fonction polynôme x → ( 1 - x ) x
1. Donner le sens de variation de f sur l'intervalle [ 0 ; 0,5 ].
2. Montrer que pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 0,5 ]
f( x ) est dans l'intervale [ 0 ; 0,5].
3. Montrer que la suite ( un ) est décroissante sur IN et
bornée par 0 et 0,5 .
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REPONSE :
1. On dispose de la fonction polynôme f : x → x - x2
Elle est définie et dérivable dans IR.
Soit x dans IR.
On a : f ' ( x) = - 2 x + 1
f '( x ) = 0 ssi x = 0,5
f '( x ) > 0 ssi x < 0,5
f '(x ) < 0 ssi x > 0,5
Conclusion:
La restriction de f sur l'intervalle [ 0 ; 0,5] est donc croissante.
2. Montrons que pour tout x dans [ 0; 0,5 ] on a f( x ) est dans [ 0; 0,5].
Soit x dans l'intervalle [ 0 ; 0,5 ].
On a : 0 ≤ x ≤ 0,5
Mais f est croissanre sur l'intervalle [ 0 ; 0,5 ].
Donc f( 0 ) ≤ f( x ) ≤ f( 0 , 5 )
c-à-d 0 ≤ f( x ) ≤ 0,25
Or 0,25 ≤ 0,5
Ainsi : pour tout x dans [ 0; 0,5 ] on a f( x ) qui est dans [ 0; 0,5].
Conclusion : On a bien le résultat demandé,
3. Montrons par récurrence sur N que la suite ( un ) est
décroissante et bornée par 0 et 0,5 .
c-à-d
Cela revient à 0 ≤ un + 1 ≤ un ≤ 0,5 pour tout n dans IN.
• n = 0
On a : u0 = 0,5
et u 1 = ( 1 - 0, 5 ) × 0,5 = 0,25
On a bien 0 ≤ un + 1 ≤ un ≤ 0,5 pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si 0 ≤ un + 1 ≤ un alors 0 ≤ un + 2 ≤ un + 1 ≤ 0,5
Considérons : 0 ≤ un + 1 ≤ un ≤ 0,5
Comme f est croissante sur l'intervalle [ 0 ; 0,5 ]
on a f (0 ) ≤ f (un + 1 ) ≤ f( un ) ≤ f( 0,5)
c-à-d 0 ≤ un + 1 ≤ un ≤ 0,25
Ainsi : 0 ≤ un + 1 ≤ un ≤ 0,5
On a la propriété à l'ordre n.
Conclusion : La suite est décroissante et bornée par 0
et 0,5.
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