INFO QCM SUR LES COMPLEXES TS Juin 2013
QCM: Acune justification n'est demandée.
Chaque question ne comporte qu'une bonne réponse.
Chaque bonne réponse rapporte 0,25 point. Une non réponse ou
mauvaise réponse rapporte 0 point.
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1. Soit l'équation du second dégré
où z est un nombre complexe.
L'ensemble solution dans l'ensemble des nombres complexes est :
a. { 3 - 2 i ; 3 + 2 i }
b. Ø
X c. { 1,5 - 2 i ; 1,5 + 2 i }
• Déjà dans l'ensemble des nombres complexes il est impossible
de n'avoir aucune racine pour une équation du second degré à coefficients réels.
• On a ici : c / a = 25 / 4 C'est le produit des racines
Or on a : ( 3 - 2 i ) × ( 3 + 2 i ) = 9 + 4 = 13
Donc 13 ≠ 25 / 4
Les deux premières réponses proposées sont donc mauvaise.
Rappel : Pour obtenir directement les racines
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2. Soit l'équation du second dégré
z2 - z + 1 = 0 notée ( 1 )
où z est un nombre complexe.
Peut-on, sachant que j est un nombre complexe qui est solution de l'équation
z2 + z + 1 = 0, trouver sans calcul les deux solutions de l'équation ( 1 ) ?
a. OUI . Les deux solutions sont :
b. NON car - 1 ; 0 ; 1 ne sont pas des racines évidentes.
X c. OUI. Les deux solutions sont :
On a: ( - j )2 - ( - j ) + 1 = j2 + j + 1 = 0
Donc - j est une solution.
De plus, comme l'équation est à coefficients réels le conjugué de - j
en est aussi une solution.
Ainsi l'autre solution est:
Rappel:
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3. Soient les nombres complexes suivants:
z = 1 + i z' = 1 - i
Alors le quotient z / z' est:
a. 1
X b. i
c. 2 i
( 1 + i ) / ( 1 - i ) =( 1 + i )2 / | 1 - i |2 = ( 1 + i2 + 2 i ) / ( √2 )2 = 2 i / 2 = i
Rappel: 1 + i2 = 1 - 1 = 0
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4. Soit les nombres complexes suivants:
Alors le nombre complexe
est :
a.
X b.
c.
On a :
On rappelle que e 2 π i = eoi = 1
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5. Soit le nombre complexe
où z est un nombre complexe distinct de i.
On considère z = x + i y la forme algébrique de z.
Nous devons imposer la condition :
a. ( x , y ) ≠ ( 0 ; 0 )
b. ( x , y ) ≠ ( 1 ; - 1 )
X c. ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 )
En effet x + i y ≠ 0 + 1 i c-à-d x ≠ 0 ou y ≠ 1 c-à-d ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 )
La forme algébrique de Z est :
a. Z = - 1 + 0 i
b.
X c.
On a le conjugué de z - i qui est :
Ainsi :
L'ensemble des points M d'affixe z du plan muni d'un repère orthonomal
tels que Z soit un nombre réel est :
X a. L'axe des ordonnées privé d'un point.
b. Un cercle.
c. L'axe des abscisses.
On a : 2 x = 0 avec ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 )
Donc x = 0 avec y ≠ 1
Ainsi on obtient l'axe des ordonnées privé du point d'affixe i .
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6. L'équation 2 i z - i = 0 où z est un nombre complexe a pour solution :
a.
X b. 1 / 2
c . - 2 i
On a: 2 z - 1 = 0 D'où z = 1 / 2
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7. Soit les points A( - 1 ) , B( 1 - 3 i ) , C ( 2 + 2 i ) dans le plan rapporté
à un repère orthonormal.
Le triangle ABC est :
X a. Isocèle et et rectangle en A.
b. quelconque.
c. Equilatéral
On a : zC - zA = 2 + 2 i - ( - 1 ) = 3 + 2 i
et zB - zA = 1 - 3 i - ( - 1 ) = 2 - 3 i
Donc ici, en remarquant que 3 = 3 × ( - i2 ) , on peut éviter des calculs
( zC - zA ) / ( zB - zA ) = ( 3 + 2 i ) / ( 2 - 3 i ) = [ - 3 i2 + 2 i ] / ( 2 - 3 i ) = i ( 2 - 3 i ) / ( 2 - 3 i )
c-à-d
( zC - zA ) / ( zB - zA ) = i
En considérant le module de chaque membre il vient :
AC / AB = 1 Donc le triangle ABC est isocèle en A
De plus arg(