INFO QCM :COMPLEXES TS

                              INFO  QCM  SUR LES COMPLEXES                  TS       Juin 2013

                  QCM:      Acune justification n'est demandée.

                                  Chaque question ne comporte qu'une bonne réponse. 

                                  Chaque bonne réponse rapporte 0,25 point. Une non réponse ou 

                                  mauvaise réponse rapporte 0 point.

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             1. Soit l'équation du second dégré

                              eq2deg.png

               où z est un nombre complexe.

               L'ensemble solution dans l'ensemble des nombres complexes est :

              a.         { 3 - 2 i   ;  3 + 2 i }

              b.         Ø

 X           c.         {    1,5 - 2 i   ;  1,5 + 2 i  }

                   •  Déjà dans  l'ensemble des nombres complexes il est impossible

                    de n'avoir aucune racine pour une équation du second degré à coefficients réels.

                  • On a  ici :            c / a = 25 / 4       C'est le produit des racines      

                    Or on a :        ( 3 - 2 i ) × (  3 + 2 i ) = 9 + 4 = 13                          

                                Donc              13 ≠ 25 / 4     

                      Les deux premières réponses proposées sont donc mauvaise.    

               Rappel : Pour obtenir directement les racines

                             racineequa2dg.png     

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           2. Soit l'équation du second dégré

                    z2  - z + 1 = 0            notée ( 1 )

               où z est un nombre complexe.

              Peut-on,  sachant que j est un nombre complexe qui est solution de l'équation

               z2   + z + 1 = 0,  trouver sans calcul les deux solutions de l'équation ( 1 ) ?

               a. OUI .  Les deux solutions sont  :

                                          j-et-j-barre.png

              b. NON  car  - 1 ; 0  ; 1   ne sont pas des racines évidentes.

  X          c. OUI.  Les deux solutions sont  :

                                          oppj-etopp-j-barre.png

                    On a:           ( - j )2  - ( - j ) + 1 =     j2   +  j + 1 = 0 

                   Donc - j est une solution.

                  De plus,  comme l'équation est  à coefficients réels  le conjugué de -  j 

                  en  est aussi une solution.

                  Ainsi  l'autre solution est:

                                                  oppjbarre.png

               Rappel:

                                   nbcomplj.png

   -----------------------------------------------------------------------------------------------------

             3. Soient les nombres complexes suivants:

                   z = 1 + i                     z' = 1 - i 

                      Alors le quotient  z / z'    est:

              a.         1  

  X          b.         i   

              c.         2 i  

                  ( 1 + i ) / ( 1 - i ) =( 1 + i )2  /  | 1 - i |2  =  (  1 + i2 + 2 i ) /  ( √2 )2    = 2 i / 2  = i

               Rappel:   1 + i2  = 1 - 1 = 0 

      --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

             4.  Soit les nombres complexes suivants:

                         decompexp.png

                  Alors le nombre complexe

                                        quotcomplex.png

                 est :

                      a.

                                       qrep1.png


   X                 b.

                                       qrep.png

                      c.        

                                       qre31.png

                  On a :

                                          prodcomp-1.png

             On rappelle  que     e 2 π i    = eoi   = 1

                      --------------------------------------------------------------------------------------

              5. Soit  le nombre complexe 

                              grz.png

                   où z est un nombre complexe distinct de i.

                   On considère   z = x + i y   la forme algébrique de z.

                  Nous devons imposer la condition :

                      a.         ( x , y ) ≠ ( 0 ; 0 ) 

                      b.        ( x , y ) ≠ ( 1 ; - 1 ) 

   X                 c.          ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 ) 

                            En effet        x + i y  ≠ 0 + 1 i      c-à-d   x ≠ 0  ou y ≠  1   c-à-d     ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 ) 

                  La forme algébrique de Z est :

                a.    Z  =  - 1 + 0 i  

                b.  

                      foralgquot.png

   X           c.

                       foralgquot2.png

             On a  le conjugué de z - i  qui est :

                                            conjso.png      et  non  z + i  

           Ainsi :

                   foralgdez.png

             L'ensemble des points M d'affixe z du plan muni d'un repère orthonomal 

             tels que Z  soit un nombre réel est :

   X             a.  L'axe des ordonnées privé d'un point.

                 b.  Un cercle.

                 c.  L'axe des abscisses.

              On a :    2 x = 0    avec    ( x , y ) ≠ ( 0 ; 1 ) 

             Donc     x = 0  avec y  ≠  1  

             Ainsi   on obtient l'axe des ordonnées privé du point d'affixe i .

        -----------------------------------------------------------------------------------------

             6.    L'équation 2 i z - i = 0  où z est un nombre complexe a pour solution :

                        a.  

                                       sol1.png

   X                  b.             1 / 2  

                        c .            - 2 i

                  On a:       2 z - 1 = 0    D'où     z = 1 / 2

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            7. Soit les points A( - 1 )  ,  B( 1 - 3 i ) ,  C ( 2 + 2 i ) dans le plan rapporté

               à un repère orthonormal.

               Le triangle ABC est :

   X             a.    Isocèle et et rectangle en A.

                  b.    quelconque.

                  c.   Equilatéral 

           On a :       zC - z =  2 + 2 i - ( - 1 ) = 3 + 2 i

                    et       zB - z = 1 - 3 i - ( - 1 ) = 2 - 3 i

        Donc  ici,  en remarquant   que    3 = 3 × ( - i2  )  ,  on peut éviter des calculs 

    (   zC - zA ) / (   zB - z ) = (  3  + 2 i  ) / (  2 - 3 i  ) = [ - 3  i2   + 2 i ]  / (  2 - 3 i  ) = i ( 2 - 3 i ) / (  2 - 3 i  )

             c-à-d

                            (   zC - z) / (   z- z ) = i

            En considérant le module de chaque membre il vient :

                            AC / AB = 1         Donc le triangle ABC est isocèle en A

           De plus    arg(  zC - z) / (   z- z ) =  arg ( i ) = π / 2      (  2  π ) 

                        agle.png

            Donc  le triangle ABC est rectangle en A

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           8.  Soit z = x + i y un nombre complexe sous la forme algébrique.

                Alors  le carré de son module est:

  X                a.    carrmod.png

                    b.      carrmod2.png

                     c.      | z |2   =  x2  - y2                

                  C'est une formule de cours 

                             carrmod.png

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           9. Soit les points A( - i ) , B( 2 ) , C( 1 + 2 i ) du plan muni d'un repère orthonormal.

               soit le  point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallèlogramme direct.

                Alors son affixe est:

  X                 a.      zD  = - 1 + i 

                   b.      zD  = 3 + 3 i 

                    c.       zD  = 3 - 2 i

                    Il suffit de traduire l'égalité vectorielle :

                       egvec.png

                     zD = zC - zB + zA   =  1 + 2 i - 2 + ( - i ) = - 1 + i  

              Une mesure de l'angle orienté

                angorie.png    

                 est :

                  a.   -  3 π / 2

                  b.    π / 2

   X            c.  arg( - i )                     A( - i ) , B( 2 ) , C( 1 + 2 i )

              On a :    ( zC - zB ) / ( zA - zB ) = ( 1 + 2 i - 2  ) / ( - i - 2 ) = ( - 1 +  2 i ) / ( - i - 2 ) = ( i2  + 2 i ) /( - i - 2 )

              c-à-d

                              ( zC - zB ) / ( zA - zB ) =  i  ( i + 2 )  / [ - ( i + 2 ) ] = - i 

                    d'où      arg( - i )   est une mesure de l'angle orienté  

                                   angorie.png            

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             10.  L'ensemble des points M, d'affixe z, du plan muni d'un repère

                    orthonormal  tels que:

                                                 | z - 1 + 2 i | = 3  

                    est :

                      a.      { A( 1 - 2 i ) }

  X                  b.      Le cercle de centre A( 1- 2 i ) et de rayon 3.

                      c.    La médiatrice du segment [ A(1 - 2 i ) B(3 ) ]

                         L'idée est de faire apparaître le module d'une différence

         | z - 1 + 2 i | = 3    s'écrit     | z - ( 1 - 2 i )  | = 3   c-à-d  AM = 3  en prenant le point A( 1 - 2 i )

              Ainsi :   M( z ) décrit le cercle de rayon 3 et de centre le point A( 1 - 2 i )

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                11.     L'ensemble des points M, d'affixe z, du plan muni d'un repère

                           orthonormal  tels que:

                                                     | z  + 2 - 3 i | = | z + 1 + i  |  

                           est :

                              a.   Un cercle.

                              b.    Un point.

   X                         c.    Une droite.

                       Même idée que dans l'exercice précédent mais à deux reprises.

                      | z  + 2 - 3 i | = | z + 1 + i  |     s'écrit        | z  - ( - 2 + 3 i  ) | = | z - ( - 1  - i )  |  

                       ce qui s'écrit   AM = BM   avec    les points    A ( - 2 + 3 i  ) et B( - 1  - i )

                     le point M( z )  décrit  la médiatrice du segment [AB]  

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                      12. Soit ABC un triangle dans le plan  muni d'un repère orthonormal

                              tels que:      zC - zA = i ( zB - zA )

                             Alors:

                               a.   Les points A , B et C sont alignés.

                               b.    Le triangle ABC est équilatéral.

     X                        c.  Le triangle ABC est isocèle et rectangle en A. 

                        C'est pratiquement du cours:

                          l'égalité                  zC - zA = i ( zB - zA )    

                         donne     (  zC - zA ) /  ( zB - zA )  = i

                         Ainsi en prenant les modules de chaque membre  il vient : AC / AB = 1

                        c-à-d                  AC = AB

                           De plus:             arg (  (  zC - zA ) /  ( zB - zA ) ) = arg( i ) = π / 2   ( 2  π )

                                      Donc:

                                               agle.png

                             On a bien un triangle rectangle et isocèle en A.

                           (  Dans l'ancien programme on disait que    zC - zA = i ( zB - zA )   traduisait le fait que C

                                est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle π / 2  )

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                   13.  Les points A( 1 + 3 i ) , B( - 2 - 3 i ) et C( - 1 - i ) 

                           du plan muni d'un repère orthonormal  sont :

   X                      a.    Alignés.

                           b.   Les sommets d'un triangle rectangle.

                           c.   Les sommets d'un triangle isocèle.

                  Comme les points A et B  sont  différents  

                  il suffit de vérifier que le quotient     (  zC - zA ) /  ( zB - zA )  est un réel.

                      (  zC - zA ) /  ( zB - zA ) =  ( - 1 - i( 1 + 3 i )  )  / ( - 2 - 3 i - ( 1 + 3 i ) = ( - 2 - 4 i ) / ( - 3 - 6 i ) 

                   c-à-d 

                          (  zC - zA ) /  ( zB - zA ) = [ 2 ( - 1 - 2 i )] / [ 3 ( - 1 - 2 i ) ]  = 2 / 3

                C'est bien le cas.

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