LISTE 2 D'EX. DERIVATION 1S

 LISTE 2  D'EXERCICES SUR LA DERIVATION          1S          NOV. 08


   EX .1           1.    A l'aide du résultat de cours ,

                     <<  Si u est une fonction définie et dérivable dans un intervalle I  

                           et λ un réel alors  la fonction λ u  est définie et dérivable dans I et l'on a :

                                   ( λ u  ) ' = λ u '           sur I .    >>

                          trouver  la fonction dérivée f ' de la fonction f :  x → 5 x²   dans IR .

                    2. Donner le signe de f '( x ) suivant x  dans IR.


   EX. 2                   Soit la fonction  f : x → 2 x² + 3 x - 1 .

                              Soit ( P ) sa courbe dans un repère orthonormal.

               1. Donner directement à l'aide du cours ( Leçon 1 ) le tableau de variation de f.

                    ( Rappel : Le sommet de la parabole  d'équation y = a x² + b x + c  avec a , b , c

                                   des réels et a non nul   est  le point  S ( - b / ( 2 a )  ; - Δ / ( 4 a)   . 

                                  Le signe de a indique la concavité de la parabole. )

               2. a. Comme fonction polynôme f définie et dérivable sur IR , donner directement sa fonction dérivée f ' .

                   b. Donner le signe de f '( x ) suivant x .

                   c. Quel lien remarquez-vous entre le sens de variation de f  et  f '( x) ?

               3.  Donner l'équation réduite de la tangente à  ( C ) au point d'abscisse 1.


    EX. 3    Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                   1. Donner directement  la fonction dérivée f '  de la fonction polynôme f : x → 2 x6     + 3 x4  - 1 

                      qui est définie et dérivable dans IR.

                 2.  Donnner suivant x le signe de f '( x ) .

                 3. Que peut-on dire de la  tangente à la courbe ( C )  de f au  point d'abscisses 0 ?


   EX. 4             A l'aide du résultat de cours:

                     <<  Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I  

                           alors  la fonction u + v est définie et dérivable dans I et l'on a :

                              ( u + v ) ' = u ' + v '         sur I .   >>

                           trouver  la fonction dérivée f ' de la fonction f :  x → 5 x² - 7 x +3 - 1 / x

                          sur les deux intervalles de IR.


    EX. 5         A l'aide du résultat de cours:

                     <<  Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I alors

                        la fonction u × v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :

                          ( u × v ) ' = u ' × v + u × v '      sur I   >>     

                      Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f :  x → ( x² + 1 ) ( 1 + 1 / x )   dans les

                     intervalles de IR.


    EX. 6       1.  A l'aide du résultat de cours ,

                     <<  Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I  et v non nulle sur I

                           alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :

                          ( u / v ) ' = ( v × u '  -  u × v ' ) /  v²     sur I   >> , 

                      trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f :  x →  (  x + 1 ) / ( 3  x -  2 )

                      sur les intervalles  ] - ∞ , 2 / 3  [  et  ] 2/ 3 , + ∞ [ .

                 2.   Donner le signe de f '( x ) suivant x dans   ] - ∞ , 2 / 3  [   U  ] 2/ 3 , + ∞ [ .


  EX.  7         1.  A l'aide du résultat de cours ,

                     <<  Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I  et v non nulle sur I

                           alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :

                          ( u / v ) ' = ( v × u '  -  u × v ' ) /  v²     sur I   >> , 

                      trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f :  x →  (  x² + 1 ) / ( 2  x - 1 )

                      sur les intervalles  ] - ∞ , 1 / 2  [   et  ] 1/ 2 , + ∞ [ .

                     2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans  ] - ∞ , 1 / 2  [   U  ] 1/ 2 , + ∞ [ .


  EX. 8       Soit la fonction f définie dans IR- { - 1 ]  par

                  f( x ) = ( a x² + b ) / ( x + c )         où   a , b , c sont des réels.

                 On suppose que f '( 0 ) = - 3   et f( 1 ) = 2.

               1. Que vaut c ?

               2. Trouver f '(x )  pour tout x distinct de - 1.

              3. Trouver b sachant que f '( 0 ) = - 3  .

             4. Trouver a sachant que f( 1 ) =  2     .