LISTE 2 D'EXERCICES SUR LA DERIVATION 1S NOV. 08
EX .1 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u est une fonction définie et dérivable dans un intervalle I
et λ un réel alors la fonction λ u est définie et dérivable dans I et l'on a :
( λ u ) ' = λ u ' sur I . >>
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → 5 x² dans IR .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans IR.
EX. 2 Soit la fonction f : x → 2 x² + 3 x - 1 .
Soit ( P ) sa courbe dans un repère orthonormal.
1. Donner directement à l'aide du cours ( Leçon 1 ) le tableau de variation de f.
( Rappel : Le sommet de la parabole d'équation y = a x² + b x + c avec a , b , c
des réels et a non nul est le point S ( - b / ( 2 a ) ; - Δ / ( 4 a) .
Le signe de a indique la concavité de la parabole. )
2. a. Comme fonction polynôme f définie et dérivable sur IR , donner directement sa fonction dérivée f ' .
b. Donner le signe de f '( x ) suivant x .
c. Quel lien remarquez-vous entre le sens de variation de f et f '( x) ?
3. Donner l'équation réduite de la tangente à ( C ) au point d'abscisse 1.
EX. 3 Le plan est muni d'un repère orthonormal.
1. Donner directement la fonction dérivée f ' de la fonction polynôme f : x → 2 x6 + 3 x4 - 1
qui est définie et dérivable dans IR.
2. Donnner suivant x le signe de f '( x ) .
3. Que peut-on dire de la tangente à la courbe ( C ) de f au point d'abscisses 0 ?
EX. 4 A l'aide du résultat de cours:
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I
alors la fonction u + v est définie et dérivable dans I et l'on a :
( u + v ) ' = u ' + v ' sur I . >>
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → 5 x² - 7 x +3 - 1 / x
sur les deux intervalles de IR* .
EX. 5 A l'aide du résultat de cours:
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I alors
la fonction u × v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u × v ) ' = u ' × v + u × v ' sur I >>
Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x² + 1 ) ( 1 + 1 / x ) dans les
intervalles de IR* .
EX. 6 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I et v non nulle sur I
alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u / v ) ' = ( v × u ' - u × v ' ) / v² sur I >> ,
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x + 1 ) / ( 3 x - 2 )
sur les intervalles ] - ∞ , 2 / 3 [ et ] 2/ 3 , + ∞ [ .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans ] - ∞ , 2 / 3 [ U ] 2/ 3 , + ∞ [ .
EX. 7 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I et v non nulle sur I
alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u / v ) ' = ( v × u ' - u × v ' ) / v² sur I >> ,
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x² + 1 ) / ( 2 x - 1 )
sur les intervalles ] - ∞ , 1 / 2 [ et ] 1/ 2 , + ∞ [ .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1/ 2 , + ∞ [ .
EX. 8 Soit la fonction f définie dans IR- { - 1 ] par
f( x ) = ( a x² + b ) / ( x + c ) où a , b , c sont des réels.
On suppose que f '( 0 ) = - 3 et f( 1 ) = 2.
1. Que vaut c ?
2. Trouver f '(x ) pour tout x distinct de - 1.
3. Trouver b sachant que f '( 0 ) = - 3 .
4. Trouver a sachant que f( 1 ) = 2 .