INFO EX DERIV. 1S mars 10

                      INFO  EXERCICES  SUR LA DERIVATION         1S    (     Extrait d'un DS 2008   )      MARS 2010      

                 EXERCICE  1     

                      Soit la fonction polynôme f : x → x3 - 3 x2  + 3.

                      Soit  C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

                  1. a.Trouver la fonction dérivée f ' de f .

                      b. Donner une équation de la tangente au point A d'abscisse 1 de C.

                  2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans IR.

                  3. En déduire le sens de variation de la fonction f.

                  4. Construire le tableau de variation de la fonction f .

                  5. Tracer la courbe C de f.

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 Réponse:

             1.a. Donnons f '.

                   La fonction polynôme f : x → x3 - 3 x2  + 3 est définie et dérivable dans IR.

                   On a :                          f ' : x → 3 x2 - 6 x       sur IR.

                          Conclusion:     f ' : x → 3 x2 - 6 x       sur IR.   

                b. Donnons une équation de la tangente au point A d'abscisse 1 de C.

                    On a :            y = f '( 1 ) x + f( 1 ) - f '(  1 ) × 1

                     Or                f( 1 ) = 1 - 3  + 3 = 1

                                         f '( 1 ) = 3 - 6 = - 3

                 On obtient donc :   y = - 3 x +1 - ( - 3 ) × 1

                             c-à-d            y = - 3 x + 4

                        Conclusion:   L'équation de la tangente T cherchée est   y = - 3 x + 4  

                 2. Donnons le signe de f '( x ) suivant x dans IR.

                     Soit x dans IR.

                     On a :        f ' ( x ) = 3 x² - 6 x

                      c-à-d         f '( x ) = 3 x ( x - 2 )

                     Le trinome du second degré  3 x ( x - 2 ) s'annule

                     pour x = 0 et x = 2.

                      a  = 3    Donc a > 0. La règle permet de dire:

                            3 x ( x - 2 ) > 0  ssi    x < 0 ou  x > 2

                           3 x ( x - 2 )  < 0 ssi     0 < x < 2

                            Conclusion:      f ' > 0 sur ] - ∞ , 0 [ U ] 2 , + ∞ [

                                                      f ' < 0 sur ] 0 , 2 [   

                                                      f ' ( x ) =  0     ssi x = 0 ou x = 2   

               3. Déduisons le sens de variation de f.

                      D'après le signe de f ' on peut dire :

                            Conclusion:     f est strictement croissante sur  ] - ∞ , 0 ] U [ 2 , + ∞ [  

                                                    f est strictement décroissante sur  [ 0 , 2 ] 

                     On remarquera que les intervalles sont fermés en 0 et 2.    

               4. Tableau de variation de f.                  

x  -∞                0               2                +∞ 
f '( x )         +           0      -        0       +                        
f( x )          ↑          3      ↓        -1           ↑

             5. Courbe de f .

                                        

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       EXERCICE  2  

                   Soit la fonction rationnelle   f : x → ( x² - 3 x + 1 ) / ( x - 1 )  définie dans IR- {1}.

                  1. Trouver deux réels a et b tels que :

                           f( x ) = a + b / ( x - 1 )  pour tout x dans   IR- {1}.

                   2. Trouver la fonction dérivée f ' de f .

                  3. Déterminer le signe de la fonction f ' .

                     En déduire le sens de variationde la fonction f.

                   4. Construire le tableau de variation de f.

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   Réponse:

  1.  Trouvons  deux réels a et b tels que :

    f( x ) =a + b / ( x - 1 )  pour tout x dans IR- {1}.

    Soit  x dans  IR- {1}.

    On a    f ( x ) =  ( x²  - 3 x      +      1      ) / ( x - 1 )

         c-à-d     f( x ) = (  x2  -  x - 2 x   - 2 x +   2 - 1  ) / ( x - 1 )

          c-à-d     f( x ) =  ( x ( x - 1 ) - 2 ( x - 1 ) - 1 ) / ( x - 1 )

        c-à-d       f( x ) = x - 2  -  1 / ( x - 1 )

                   Conclusion :  a = 1   b = - 2   c = - 1      

                       On pouvait utiliser la division       

    2. Trouvons la fonction dérivée f ' de f .

           f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 1 }. Elle y est donc dérivable.

           La  nouvelle expression de f permet  d'obtenir plus vite f '( x ).

            On a : f = u - 1 / v

            avec u : x →  x - 2       et  v : x →  x - 1

           Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR - { 1 }.

           v est non nulle dans IR - { 1 }.

          Donc la fonction f est  définie et dérivable dans IR - { 1 }.

         De plus  f ' =  (  u - 1 / v )' = u ' -   ( -  v '  / v² ) = u ' + v ' / v²

         On a u ' : x  →  1                      et  v ' : x  → 1

            Soit x dans  IR - { 1 }.

               f ' ( x ) = 1  -  ( -  1  / ( x - 1 )² ) = 1 +  1 /( x - 1 )² 

                  Conclusion :    f ' : x → 1  + 1 / ( x - 1 )²     sur IR - { 1 }  

     3. Trouvons le signe de f'( x ) suivant x dans IR- { 1 }.

             On a     1  +  1  / ( x - 1 )²  > 0 pour tout x dans  IR - { 1 }.

             Ainsi:

              Conclusion:   f ' ( x ) > 0 pour tout x dans  IR- { 1 }.   .

          Ainsi la fonction f est strictement croissante dans   IR - { 1 }.

             Conclusion:   f est strictement croissante sur les intervalle de IR- { 1 }

       4. Faisons le tableau de variation de la fonction f.              

x  -∞                              1                       +∞ 
f '( x )                +                  ||             +
f( x )                 ↑                  ||              ↑

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                   EXERCICE  3  

             On dispose de la représentation graphique de la fonction f

              sur l'intervalle [ 0 ; 3 ].

                               

              On sait que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [ - 3 ; 3 ] et qu'elle est paire.

               Faire le tableau de variation de f sur l'intervalle [ - 3 ; 3 ].

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Réponse:

                    L'axe des ordonnées est ici un axe de symétrie.

                   Donnons  le tableau de variation de f.                  

x  -3      -2         -1            0           1          2              3 
f '( x )   0    +  0    -     0     +    0      -    0    +   0      -      0     
f( x )          ↑          ↓             ↑            ↓           ↑            ↓  

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                  EXERCICE  4  

                        Soit la fonction  polynôme f : x→ x3 - 6 x2 + 1.

                       Soit  C sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

                     1.  En quels points de C  y a-t-il une tangente horizontale ?

                     2. Trouver la fonction dérivée seconde f '' .

                          f '' s'annule-t-elle en changeant de signe en x = 2 ? 0 ?

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                   1. Regardons où il y a une tangente horizontale.

                      La fonction  polynôme f : x→ x3 - 6 x2 + 1 est définie et dérivable dans IR.

                      On a :  f ' : x → 3x2 - 12 x                   

    Imposons   f ' ( x ) = 0  avec x dans IR.

                      c-à-d      3x2 - 12 x  = 0  

                      c-à-d     x( x - 4 ) = 0

                     c-à-d    x = 0 ou x = 4

                             Conclusion:    La courbe de f admet aux points d'abscisses 0 et 4 une tangente  

                             horizontale.              

    2. Regardons si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

         On a :     f '' : x →   6 x - 12

           c-à-d   f '' : x →   6 ( x - 2 ) 

            Soit x dans IR.

          •  On a :    f '' ( x ) = 0     ssi   6 ( x - 2 ) = 0

              c-à-d    f '' ( x ) = 0   ssi    x - 2 = 0

              c-à-d     f '' ( x ) = 0 ssi   x = 2   

           •   De plus     f ''( x ) > 0 ssi   6 ( x - 2 ) > 0

                c-à-d      f '' ( x ) > 0 ssi   x > 2        

            •  Enfin         f '' ( x ) < 0 ssi   x < 2  

            c-à-d           f '' ( x ) < 0  ssi x < 2      

                        Conclusion:   OUI .    f '' s'annule en changeant de signe en x = 2   

                    La fonction f '' admet un extrémum en x = 2 . Cet extrémum est ici un minimum.   

                         

                  On dit que la courbe de f admet un point d'inflexion en x = 2

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