INFO DV n° 6 TS1 8/01/14

                             INFO  Devoir à la maison   n° 6                    TS1    du 8 janvier 2014

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           REPONSE:

                      EXERCICE 1

     1. Recherchons la limite demandée.

             De plus  la fonction exp est dérivable en 0.                

                 De même la fonction sinus est dérivable en 0.

             Ainsi :

             Conclusion:

      2.  Etudions la parité de la fonction   g:  x → (  e^x -  e ^{- x}  ) / 2

           Elle est définie sur IR.

           Soit x dans  IR.

                    g( - x ) =  (  e ^{- x}  -  e  ^x  ) / 2   =  - (  e^x -  e ^{- x}  ) / 2  

                  c-à-d

                   g( - x ) = - g( x )    pour tout réel x

            Conclusion :  g est une fontion impaire.

              On peut n'étudier les variations de g que sur  les réels positifs.

              en effet l'origine du repère est un centre de symétrie pour la courbe de g 

              g est définie et dérivable sur  l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [  comme somme de telles fonctions.

                  On a :

                      g' ( x ) = (  e^x +  e ^{- x}  ) / 2     pour tout x dans l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [

                     Or  exp > 0    sur IR

                   Donc    g ' > 0    sur   l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [

                   Conclusion:    La fonction g est strictement croissante sur IR   

                     Courbe :  

               3. Etudions les variations de la fonctions h : x →  (  e^x +  e ^{- x}  ) / 2

                   h est définie et dérivable sur IR comme somme de telle de fonctions.

                  Soit x dans IR.

                              h '( x ) =  (  e^x -  e ^{- x}  ) / 2  = g( x )

                             h' est donc du signe de g.

                          Or  g est strictement croissante sur IR

                           et      g( 0 ) =  (  e⁰ -  e ^{- 0}  ) / 2  = 0

                        Donc :     h ' > 0  sur  ] 0 , + ∞ [

                                         h ' <  0  sur  ] - ∞ , 0 [

                                         h ' ( 0 ) = 0

                Conclusion :    h est strictement décroissante sur   ] - ∞ , 0 [

                                            h est strictement croissante sur   ] 0 , + ∞ [                        

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                EXERCICE 2

                   1. Résolvons dans IR l'équation .

                            L'quation :

                         c-à-d

                          c-à-d

                          Conclusion:       S_IR = { 0 }

                  2. Résolvons dans IR l'inégalité.

                        1 est une racine évidente de  2 X² + 3 X - 5

                        L'autre racine est:           c / a = - 5 / 2

                       2 2 X² + 3 X - 5 > 0   se traduit par  X < - 5 / 2   ou  X > 1

                        Donc l'inégalité donnée se traduit par :

                         e^x   < - 5 / 2     ou     e^x > 1

                          c-à-d    x > 0    (   comme exp > 0 sur IR )

                   Conclusion :    S_IR = ] 0 , + ∞ [ 

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                EXERCICE 3

                        soit la fonction :

                                                                 sur IR⁺

     1. Donnons son sens de variation sur l'intervalle [ 0 , + ∞  [ .

              f est définie et  dérivable sur IR comme somme et produit de telles fonctions.

                          Soit  x dans IR.

                 f '( x ) = - e^x + ( 2 - x ) e^x   =  ( 1 - x ) e^x    

                  Comme exp > 0 sur IR ,  on a   f ' ( x ) qui est du signe de  1 - x  pour tout réel x.

                       Ainsi:         f '  < 0   sur   ] 1 , + ∞ [

                                           f '  > 0  sur    [ 0 , 1 [

                                           f '( x ) = 0   ssi    x = 1

                   Conclusion :  f est strictement croissante sur [ 0 , 1 ]

                                              f est strictement décroissante sur [ 1 , +  ∞ [

                    2. Donnons sa limite en + ∞ .

                          + ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition.

                         On peut faire la recherche.

                      On a :      lim ( 2 - x ) = - ∞

                                         x →  + ∞

                          et       lim e^x    = + ∞

                                     x →  + ∞

                        Donc directement :      lim(  ( 2 - x )  e^x - 1   ) = -  ∞

                                                                    x →  + ∞

                      c-à-d   

                    Conclusion :

                                          lim f = - ∞

                                          + ∞

      3 .  Montrons que l'équation  f( x ) = 0 admet un unique solution α dans l'intervalle [ 1 ; 2 ].

                  Nous allons utiliser le  corollaire du Th. des valeurs intemédiaires ( th. de la bijction. )

                       • f est définie et continue dans l'intervalle [ 1 ; 2 ].

                      • f est strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 , 2 ] d'après l'étude faite.

                         f (1 ) = ( 2 - 1 ) e¹ - 1  = e - 1       Donc    f ( 1 ) > 0

                         f( 2 ) = (  2 - 2 ) e²  - 1  = - 1        Donc   f ( 2 ) < 0

                     •On a  0 qui est compris entre f ( 1 ) et f (  2 ) 

                 Donc,  d'après le  corollaire du Th. des valeurs intemédiaires :

                  Conclusion:   L'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans  l'intervalle [ 1 , 2 ].

                  Encadrons α avec la dichotomie avec une amplitude au maximum de 0,01 .

                    On obtient :                           1, 836 <  α  < 1,844

                   Remarque: 

                               Ce n'est pas parce que l'on veut  un encadrement d'amplitude maximale 0,01 

                               que les deux réels qui encadrent  doivent être donnés avec deux décimales.

                               Par exemple :    1,836 ≤ α  ≤ 1,846   est un encadrement d'amplitude 

                                0,01  même si les deux réels sont donnés avec 3 décimales.

                             Ainsi pour un encadrement d'amplitude maximale 0,01 il faut régler

                                   MODE de la TI 84  sur 3 décimales.

                                         FLOAT        0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 

                                 mAIS DANS LE PROGRAMME dicho IL FAUT PRENDRE  

                                 A=? 1

                                 B=? 2

                                 E= ? 0.01 

                                        On obtient ici:         1, 836 <  α  < 1,844                                      

             4. Etudions le signe de f (x ).

                      On le tableau de variation de f suivant :

                           • Sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] f est minorée par 1 donc positive.

                           • Comme f est strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 , +  ∞ [

                             et  f( α ) = 0   on a:   

                                   f > 0  sur  [ 1 , α [   et     f < 0   sur  ] α ,  + ∞ [ .

                  Conclusion :

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