LISTE 5 D'EX. DERIVATION 1S

  LISTE 5  D'EX. DERIVATION   1S              Déc. 08

   DEVOIR n° 5 .  Rédiger sur le cahier les exercices 3; 5 ; 6 ; 7   pour le samedi 13 déc.


   EX.1      Soit l'équation  x3  - 2 x - 5 = 0  notée ( 1 ).

                On considère la fonction f : x → x3  - 2 x - 5 .

              1. A l'aide de la calculatrice faire apparaitre à l'écran la courbe ( C ) de f.

                  ( On prendra - 5 < x < 5      et - 7 < y < 7 )

                On ne demande pas de la mettre sur papier.

             2. La courbe ( C ) de f semble ne couper l'axe des abscisses qu'en un seul point A

                 dont l'abscisse est α.

                 Donner une valeur approchée entière de  α .

            3.  Donner sur IR le sens de variation de f.

              ( On pourra utiliser le signe de la fonction dérivée f '  de f . )

            4.  On admet le résultat de cours suivant:

                " Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle [ a , b ] et

                   strictement monotone sur [ a , b ] .( c-à-d  strictement croissante ou

                  strictement décroissante sur [ a , b ] . )

                   Si  u( a ) × u( b ) < 0 alors l'équation u( x ) = 0 admet une unique solution

                  dans l'intervalle ] a , b [ .  "

               a. Prouver que  l' équation ( 1 ) admet une unique solution α dans l'intervalle

                     ] 2  ;  2, 1 [ .

                b.Montrer que f( 2,094 ) × f( 2,095 ) < 0. Que peut-on en conclure pour α ?     


          EX.2    Soit la fonction f : x→ √( 5 x + 2 )  définie dans l'intervalle [ - 2 / 5 ; + ∞ [.

                     1. Trouver sur  l'intervalle ] - 2 / 5 ; + ∞ [  la fonction dérivée f ' de f.

                     2. Donner le sens de variation de f sur l'intervalle ] - 2 / 5 ; + ∞ [  .

                            ( On admettra pour des raisons de " continuité " que c'est le même

                              sens de variation sur l'intervalle [ - 2 / 5 ; + ∞ [. )

                    On pourra utiliser le résultat de cours suivant:

                   <<  Soit u une fonction définie et dérivable  dans un intervalle I.

                       Soit a et b deux réels.

                      Alors la fonction f : x → u( ax + b ) est définie et dérivable

                      en tout réel x tel que a x + b soit dans I  et l' on a : f ' : x → a u'( ax + b ) .    >>


   EX.3                 Soit la fonction f : x→ cos ( 5 x + 2 )  définie dans IR.

                     1. Trouver sur IR  la fonction dérivée f ' de f.

                     2. Montrer que f( x + ( 2 π) / 5  ) = f (x ) pour tout x dans IR .    

                           ( On dit que f est de période  ( 2 π) / 5  .)

                     ( On pourra utiliser le résultat cité dans l'exercice prédédent.

                      On a admis que  cos '   = - sin    sur IR .  )


   EX. 4   ( Falcultatif.  Niveau terminale sur la dérivation de la composée de deux fonctions .)

               On pourra utiliser le futur résultat suivant:

               <<  Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle I

                    à valeurs dans l'intervalle J.

                    Soit v une fonction définie et dérivable dans l'intervalle J .

                    Alors la fonction composée  v ο u est définie et dérivable dans l'intervalle I.

                    De plus ( v ο u ) '   = u '   ×  v ' ο u    sur I .      >>

              Soit la fonctions f : x → cos( 5 x - 15 x +1 )  définie dans IR.

              A l'aide du résultat futur cité plus haut montrer que :

                  1. La fonction f est définie et dérivable dans IR.

                  2.  La fonction dérivée est :

                       f '  :  x → 15 ( 1 - x ) sin ( 5 x - 15 x +1 )   sur IR.


    EX. 5      Soit la fonction f : x →  ( x + 1 ) / ( x² + x + 1 )  définie dans IR.

                  1. Montrer que f est définie et dérivable dans IR et la fonction dérivée f ' de f

                      est   f ' : x → - x ( x + 2 ) /  ( x² + x + 1 )2  .

                 2.  Donner le sens de variation de f.

                 3. Soit ( C ) la courbe de f dans un repère orthonormal du plan.

                      Donner les équations des tangentes à ( C ) aux points d'abscisses  - 2 et 0 .


  EX.6             On pourra utiliser le résultat de cours suivant:

               <<  Soit u une fonction définie et dérivable dans un intervalle I.

                     Soit a dans I distinct des extrémités de I.

                   Si  u ' ( x )  s'annule en x = a  en changeant de signe alors  u admet un

                    maximum ou un minimum au voisinage de a. (  c-à-d   des extrémums relatifs . ) >>

                Reprendre la fonction f de l'exercice n° 5.

                 Dire où elle admet des extrémums relatifs.   


    EX. 7     Soit ABCD un carré direct de côté de longueur 1.

                 Soit x un réel positif.

               Soit E un point tel que A soit le barycentre des points pondérés  ( D , x )  et  ( E , 1 ).

               Soit F un point  sur le segment [ DC ]   ( voir figure    FC = AE ).

              La droite (F E ) coupe la droite ( AB ) en un point I

             1. a. Montrer que AE = x.

                 b. Etablir que AI = ( x - x² ) / ( x + 1 ) .

             2. Pour quelle position du point E a-t-on  AI maximale?

             3. Trouver  l'aire a( x )  du triangle AIE.

            4. Pour  quelle position de E cette aire est-elle maximale?