INFO FIN liste 1 SUITES

INFO SUR LA FIN DE LA LISTE D' EXERCICES    SUITES       MAI 09        1S

   EX . 5.       Soit la suite de terme général :

                   un = sin n  / n     pour  tout entier naturel non nul.

                 1. Montrer à l’aide du th. des gendarmes qu’elle converge vers 0.

                       ( c-à-d     lim  un = 0           )

                                      n→ + ∞ 

                 2. Soit la suite de terme général :

                     un = n + sin n     pour   tout n dans IN.

                     Montrer qu’elle diverge vers  + ∞ .

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 Réponse:

                            1. On a :       - 1 =<  sin n   =< 1  pour tout entier  naturel n.

                               Donc pour tout entier naturel non nul n on a:

                                      - 1  / n   =<  sin n  / n   =<   1   / n  

                               Mais       lim - 1 / n   =   lim 1 / n = 0

                                              n→ + ∞            n→ + ∞ 

                              Donc d'après le th. des gendarmes on a :

                                 lim sin n  / n   = 0

                                n→ + ∞ 

                              Conclusion:          lim  un = 0          

                                                           n→ + ∞ 

                       La suite ( u ) définie sur IN•   converge vers 0.

                             2. On a    - 1     =<  sin n        pour tout entier naturel n.  

                                 Ajoutons     n     à chaque membre.

                               Donc      - 1  +  n    =< n   +  sin n         pour tout entier naturel n.  

                               c-à-d      - 1 + n     =<   u   pour tout n dans IN .

                                Or   lim (   - 1 + n    ) =  + ∞ 

                                       n→ + ∞ 

                                Donc    lim  u   = + ∞ 

                                             n→ + ∞ 

                 Conclusion: La suite ( u ) diverge vers + ∞ 

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EX.7.

         Soit la suite de terme général    un =   1 / ( 2 n + 1 )   définie dans IN.

             Est-elle convergente ?

              ( C-à-d  admet-elle une limite finie? )

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Réponse:

                  OUI

                  En effet :             lim 2n  = + ∞       car   2 > 1 .

                                             n → + ∞

                 Donc                 lim ( 2n  + 1 ) = + ∞  

                                            n → + ∞

               Ainsi                       lim 1 / (  2n  + 1 )   = 1 /  + ∞    = 0

                                              n → + ∞

           c-à-d                         lim un  = 0

                                             n → + ∞

             Conclusion :   la suite ( u ) converge vers 0.

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EX.8.        Soit les suite ( u ) et ( v ) telles que :

                  un = ( n - 1 ) / ( n + 1 )   et      vn =   1  +  3 - n  

                   pour tout n dans IN.
               a. Donner les sens de variation de ces deux suites.

               b. Montrer que    lim ( un -   vn ) =  0

                                           n→ + ∞ 

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Réponse:

                   1. Sens de variation.

                       •  Pour la suite ( u ) .

                      • Plusieurs méthodes

                       La fonction u : x → ( x - 1 ) / ( x + 1 ) est une fonction  rationnelle définie sur

                       IR - { - 1 }.

                     Elle y est dérivable.

                     Comme  u : x  →   1  -   2  / ( x + 1 )

                     on a immédiatement   u ' :  x  →   2  / ( x + 1 )²

                      u '  > 0    sur   IR - { - 1 }.

                     u est croissante strictement sur les deux intervalles ] - ∞  , - 1 [   et   ] - 1 ,  + ∞   [ .

                     Sa restriction à IN ,c'est-à-dire la suite ( u ) , est donc aussi strictement croissante  sur IN.

                   Conclusion: La suite ( u ) est  strictemrnt croissante sur IN.

                  • Pour la suite ( v ) .

                        vn + 1   v  =   1 +     3 - (n+ 1 )   - ( 1 +   3 - n   )     

    c-à-d            vn + 1   -  vn  =      3 -( n+ 1 )  -   3 - n   =    3 - n    (    3 -  1    -   1 )  

   c-à-d            vn + 1   -  vn  =     3 - n    (   1 / 3    - 1 )   =  3 - n    (   - 2  / 3  )

        Mais                 3 - n    (   - 2  / 3  )    < 0    pour tout n dans IN .

          c-à-d              vn + 1   -  vn  <  0     pour tout n dans IN .

              Conclusion :

                  La suite ( v ) est strictement décroissante sur IN.

              2.      lim  un   =   1            Immédiat avec la quotient simplifié des termes de plus  haut degré  .

                        n→ + ∞ 

                     lim  vn   =  1                car          lim (   1 +  1 /   3 n    ) = 1             3 >1

                         n→ + ∞                                    n→ + ∞ 

                 Ainsi   lim ( un - vn  )  =  1 - 1 = 0

                             n→ + ∞  

               Conclusion:    lim ( un - vn  )   = 0

                                      n→ + ∞  

               Les deux suites ( u ) et ( v ) sont deux suites adjacentes.

                      Cela signifie que l'on a les trois particularités suivantes:

                            •  La suite ( u ) est croissante sur IN.

                            •  La suite ( v ) est décroissante sur IN.

                            •   lim ( un - vn  )  = 0

                                n→ +   

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EX.9.            Soit la suite de terme général   un = (  2 n + 1 ) / (  3  n+ 1 - 1 )

                    définie sur IN .

                    Trouver  lim  un     .

                                  n→ + ∞ 

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      Réponse:       On a :

                             un = (  2 n  + 1 ) / (  n+ 1 - 1 ) =  [  2 n  ( 1 +  1 /  2 )  ]  /  [   n   (  3  - 1 /  3  n   ) ]

    c-à-d                 un = (   2    /  n    )   [   ( 1 +  1 /  2 )  /   (  3  - 1 /  3  n  ) ]

    c-à-d                  un = (   2  /  3 ) n      [   ( 1 +  1 /  2 )  /   (  3  - 1 /  3  n  ) ]

   Mais              lim  (   2  /  3 ) n    = 0           car      0 < 2 / 3 < 1     

                                 n→ + ∞     

    De plus             lim    ( 1 +  1 /  2 )  /   (  3  - 1 /  3  n  )  = 1 / 3          

                            n→ + ∞                                                                                

                        car    lim  1 /  2 n    =    lim ( 1 /  2 )n   = 0            0 < 1 / 2  < 1        

                                    n→ + ∞           n→ + ∞ 

                  et          lim  1 / 3 n    =  lim  1 / 3 n  = 0           0 < 1 / 3  <1        

                                n→ + ∞               n→ + ∞

     Donc            lim  (   2  /  3 ) n      [   ( 1 +  1 /  2 )  /   (  3  - 1 /  3  n  ) ]  = 0

                        n→ + ∞     

           Conclusion:               lim  un    = 0

                                              n→ + ∞             

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EX.10.            Soit la suite récurrente (u ) définie sur par : 

                           u0  =  3

                           un + 1   =  ( 1 / 3 )  un  + 4    pour tout n dans IN.


                       Soit   vn  = un  - 6        pour tout n dans IN.


               a. Montrer que la suite (v ) est géométrique.

               b. Etudier la convergence éventuelle des suites ( v ) et ( u ).

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         a. On a :       vn + 1  = un + 1 - 6    pour tout n dans IN.  

              Or    un + 1   =  ( 1 / 3 )  un  + 4   

             Donc   vn + 1  = ( 1 / 3 )  un  + 4    - 6   

           c-à-d          vn + 1  = ( 1 / 3 )  un  - 2  

             Or          un  =   6 +   vn       

          Donc         vn + 1  =  ( 1 / 3 ) (   6 +   vn  )  - 2     

       c-à-d              vn + 1  =  ( 1 / 3 )  6 +  ( 1 / 3 ) vn   - 2  

        c-àd              vn + 1  = 2  +  ( 1 / 3 ) vn   - 2   

   c-à-d                vn + 1  =   ( 1 / 3 ) vn   

                        pour tout n dans IN.

             Conclusion:   La suite ( v )  est géométrique de raison 1 / 3.      

                Son premier terme est      v 0   =  u0  - 6  = - 3

             b.     On a   vn   =   - 3  (  1 / 3 )    

                   Or            lim    (  1 / 3 ) = 0    car   0 < 1 / 3 < 1

                                  n→ + ∞     

                   Donc          lim   - 3 (  1 / 3 ) = 0    

                                      n→ + ∞    

                 c-à-d            

                                       lim   vn    = 0    

                                      n→ + ∞    

                   D'autre part           un     =  vn  +  6         pour tout n dans IN.

                     Donc                  lim     un        =  lim  ( vn   + 6 ) =  0   + 6 =  6 

                                               n→ + ∞                  n→ + ∞  

                                              lim     un        = 6

                                               n→ + ∞  

                   Conclusion:    La suite converge ( v ) vers 0 .

                                           La suite converge ( u ) vers 6 

 

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