V.a.r indépendantes

                           VARIABLES ALEATOIRES INDEPENDANTES    TS    2014

      Définition:

             Soit Ω   l'univers des possibles  d'une expérience aléatoire.

             Soit X , Y deux variables aléatoires sur l'ensemble des événements: 

                Partieomega

           Soient    x1 ,......   xi   ......   xn    les valeurs distinctes prises par X.

           Soient    y1 ,......   yj   ......   ym    les valeurs distinctes prises par Y. 

          On dit que X et Y sont indépendantes quand :

             P( ( X =  xi   )  ∩ ( Y =  yj   ) ) =   P( X =   xi  )  × P( Y =  yj   )  

           pour tout entier i entre 1 et n  et tout entier j entre 1 et m.

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      EXEMPLE

             Un jeton a deux faces, l'une  ROUGE  ,  l'autre    BLEUE.

                                       Faces

                   On jette trois fois de suite le jeton non pipé.

                   X désigne le nombre de fois que la face rouge apparaît

                   lors des deux premiers lancers.

                   Y désigne le nombre de fois que la face bleue  apparaît

                   lors des trois  lancers.

                      X prend les valeurs : 0 , 1 , 2.

                      Y prend les valeurs :  0 , 1 , 2 , 3.

                                Arbreetind

           1. A-t-on l'égalité    

                        P( ( X =  1  )  ∩ ( Y =   2  ) ) =    P( X =  1 ) × P( Y =  2  )     ?

          2.   Les v.a.r   X et  Y  sont- elles indépendantes ?

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             REPONSE:

                      Arbreetind2

                     1.   Regardons si l'on a l'égalité:   P( ( X =  1  ) ∩ ( Y =   2  ) ) =  P( X =  1 ) × P( Y =  2  )  

                     • Calculons  P ( X =  1 ).

                              On a :   P ( X =  1 ) = P( ( R1  ∩ B2 )  U ( B1  ∩ R2 ) )

       c-à-d        comme    R1  ∩ B2      ,   B1  ∩ R2     sont disjoints

                         P ( X =  1 ) = P( R1  ∩ B2 ) +  P( B1  ∩ R2 )

      c-à-d      comme   les lancers sont  indépendants

                      P ( X =  1 )  =  P( R1 ) × P( B2 ) +  P( B1  ) × P( R2 )   

      c-à-d

                     P( X = 1 ) = 0,5  × 0,5  + 0,5 × 0,5 

      c-à-d   

                        P ( X =  1 )  = 1/ 2

           •   Calculons  P( Y = 2 ).

                     On a:

         Rais2 1

      • Calculons    P( ( X =  1  )  ∩ ( Y =   2  ) ).

                         On a:

         Rais

                Or          ( 1 / 2 ) ( 3 / 8 ) ≠ 1 / 4

            Conclusion:      On n'a pas l'égalité

    2.  Comme   P( ( X =  1  )  ∩ ( Y =   2  ) ) ≠  P( X =  1 ) × P( Y =  2  )

                on peut dire:

                      Conclusion : Les v.a.r   X et  Y  ne sont pas indépendantes

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