EX TRIGO 1S Mars

Liste d'exercices de trigo.             1S 1        Mars 2009

     EXERCICE. 1

       1.     En remarquant que     π / 4   - π / 6 = π / 12

              montrer que:               sin π / 12 = ( √6 - √2 ) / 4

                                                 cos π / 12 =  ( √6 + √2 ) / 4

       2. A-t-on :        sin π /  12    = (  √( 2- √3 ) ) / 2     ?

                             cos π /  12  =  1 / ( 2  √( 2- √3 ))      ? 

AIDE:

 Utiliser   a = π /  4   et   b =  π / 6    dans les formules suivantes:

                                             sin( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a

                                             cos( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b 

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      EXERCICE . 2

              En remarquant que   5π / 12 = π / 2   - π / 12

              montrer que:   sin 5π / 12   = ( √6 + √2 ) / 4

                                    cos 5π / 12   = ( √6 - √2 ) / 4

 AIDE:    Utiliser les formules suivantes avec  x = π / 12

              sin( π / 2   - x ) = cos x

               cos ( π / 2   - x ) = sin x

            On  utilisera les résultats de l'exercice précédent.

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         EXERCICE . 3

             1. Quel est le signe de  sin π / 8  ?

                 Quel est le signe de  cos π / 8  ?

             2. En remarquant que  2 × π / 8   = π / 4    

                  montrer que sin  π / 8  = ( √( 2 - √2 )  ) / 2  

             3.    Montrer que  cos π / 8  =   ( √( 2 + √2 )  ) / 2   

  AIDE:           On utilisera les formules suivantes avec a = π / 8        

                       sin² a = ( 1 - cos 2a ) / 2

                       cos² a = ( 1 + cos 2a ) / 2

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           EXERCICE .4    

         1. Soit h un réel non nul.

            Montrer que : ( 1 - cos h ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h =( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 )

              On admet  :      lim  (sin x) / x = 1

                                       x→ 0   

              Trouver :       lim ( 1 - cos h ) / h 

                                    h  → 0   

            2. a. Démontrer que  pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:

                      ( sin( a + h ) - sin a  ) / h   = (- sin a ) ( ( 1 - cos h ) / h )+ (cos a ) ( (sin h) / h)

                    

              b. Montrer que sin' = cos   et cos '  = - sin   sur IR.

 AIDE:   Uiliser     1 - cos x   = 2 sin² ( x  / 2)  qui est la tranformation de  sin² a = ( 1 - cos 2a ) / 2  

                avec   a = x / 2

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