Liste d'exercices de trigo. 1S 1 Mars 2009
EXERCICE. 1
1. En remarquant que π / 4 - π / 6 = π / 12
montrer que: sin π / 12 = ( √6 - √2 ) / 4
cos π / 12 = ( √6 + √2 ) / 4
2. A-t-on : sin π / 12 = ( √( 2- √3 ) ) / 2 ?
cos π / 12 = 1 / ( 2 √( 2- √3 )) ?
AIDE:
Utiliser a = π / 4 et b = π / 6 dans les formules suivantes:
sin( a - b ) = sin a cos b - sin b cos a
cos( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b
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EXERCICE . 2
En remarquant que 5π / 12 = π / 2 - π / 12
montrer que: sin 5π / 12 = ( √6 + √2 ) / 4
cos 5π / 12 = ( √6 - √2 ) / 4
AIDE: Utiliser les formules suivantes avec x = π / 12
sin( π / 2 - x ) = cos x
cos ( π / 2 - x ) = sin x
On utilisera les résultats de l'exercice précédent.
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EXERCICE . 3
1. Quel est le signe de sin π / 8 ?
Quel est le signe de cos π / 8 ?
2. En remarquant que 2 × π / 8 = π / 4
montrer que sin π / 8 = ( √( 2 - √2 ) ) / 2
3. Montrer que cos π / 8 = ( √( 2 + √2 ) ) / 2
AIDE: On utilisera les formules suivantes avec a = π / 8
sin² a = ( 1 - cos 2a ) / 2
cos² a = ( 1 + cos 2a ) / 2
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EXERCICE .4
1. Soit h un réel non nul.
Montrer que : ( 1 - cos h ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h =( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 )
On admet : lim (sin x) / x = 1
x→ 0
Trouver : lim ( 1 - cos h ) / h
h → 0
2. a. Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:
( sin( a + h ) - sin a ) / h = (- sin a ) ( ( 1 - cos h ) / h )+ (cos a ) ( (sin h) / h)
b. Montrer que sin' = cos et cos ' = - sin sur IR.
AIDE: Uiliser 1 - cos x = 2 sin² ( x / 2) qui est la tranformation de sin² a = ( 1 - cos 2a ) / 2
avec a = x / 2
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