DS n° 2 TS1 18/10/14

             DS   n° 2           TS1       18 octobre 2014            2 h  

        EXECICE 1

                    On considère la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :

                          u0 = − 3

                         un + 1  =  un  + 3 × 4n    pour tout n dans IN

              1. Trouver u1 et u2 .          

              2. Justifier le sens de variation de la suite ( un ).          

              3. Etablir par récurrence que  un = 4n  − 4  pour tout n dans IN.                        

             4. Trouver lim un   

                              n  + ∞

        EXERCICE 2

          Le plan est muni d'un repère orthonormal direct 

           1rep  

                                       ( unité graphique 2 cm )

            PARTIE A

         On considère les points A , B , C dont les affixes respectives sont:

             zA  = 1 + i                   zB   = 1 − i                           zC  = 2 

         1. Placer dans le repère orthonormal donné les points  A , B , C .

         2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

                     z2  − 2 z + 2 = 0

              en donnant les solutions sous la forme algébrique.

        3. a. Mettre sous la forme algébrique puis trigonométrique le quotient suivant:

               1qo

            b. Que peut-on en déduire pour les distances OB et OA ainsi que pour l'angle 

                 1an

           c. Comparez les affixes des vecteurs 

                    1vc

         4. Justifier la nature du quadrilatère OBCA.

        PARTIE B

                Soit z un nombre complexe distinct de  − 1 .

                On considère  le quotient :

                                   1grz

             1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'égalité

                    1znu    

            1ph

                 a. Comment peut- on traduire la condition  z ≠ − 1 à l'aide du couple 

                    1co

                 b. Etablir que :

                           1for

               3. Déterminer et représenter l'ensemble ( Γ ) des points M(z ) du plan

                    tels que   Re( Z ) = 0 .

               4. Déterminer et représenter l'ensemble (  Τ ) des points M(z)  du plan

                  tels que    Im( Z ) = 0 .

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              EXERCICE 3 

                       Soit le polynôme P( z ) = z3 + z - 2

                            où z est un nombre complexe

               1. Calculer P( 1 ).

               2. Trouver un polynôme Q( z ) du second degré tel que :

                        P( z ) = ( z - 1 ) Q( z )  pour tout nombre complexe z.

               3. Résoudre l'équation  P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.

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