DS n° 2 TS1 18 octobre 2014 2 h
EXECICE 1
On considère la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :
u0 = − 3
un + 1 = un + 3 × 4n pour tout n dans IN
1. Trouver u1 et u2 .
2. Justifier le sens de variation de la suite ( un ).
3. Etablir par récurrence que un = 4n − 4 pour tout n dans IN.
4. Trouver lim un
n → + ∞
EXERCICE 2
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
( unité graphique 2 cm )
PARTIE A
On considère les points A , B , C dont les affixes respectives sont:
zA = 1 + i zB = 1 − i zC = 2
1. Placer dans le repère orthonormal donné les points A , B , C .
2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
z2 − 2 z + 2 = 0
en donnant les solutions sous la forme algébrique.
3. a. Mettre sous la forme algébrique puis trigonométrique le quotient suivant:
b. Que peut-on en déduire pour les distances OB et OA ainsi que pour l'angle
c. Comparez les affixes des vecteurs
4. Justifier la nature du quadrilatère OBCA.
PARTIE B
Soit z un nombre complexe distinct de − 1 .
On considère le quotient :
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'égalité
a. Comment peut- on traduire la condition z ≠ − 1 à l'aide du couple
b. Etablir que :
3. Déterminer et représenter l'ensemble ( Γ ) des points M(z ) du plan
tels que Re( Z ) = 0 .
4. Déterminer et représenter l'ensemble ( Τ ) des points M(z) du plan
tels que Im( Z ) = 0 .
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EXERCICE 3
Soit le polynôme P( z ) = z3 + z - 2
où z est un nombre complexe
1. Calculer P( 1 ).
2. Trouver un polynôme Q( z ) du second degré tel que :
P( z ) = ( z - 1 ) Q( z ) pour tout nombre complexe z.
3. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
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