DENOMBREMENTS 1

      LECON N°2               DENOMBREMENTS                  BTS           TS 


      1. Notation "FACTORIELLE".

              0! = 1            1! = 1        2! = 1×2 = 2    

             n! = 1 ×......×n    pour tout entier naturel n non nul.   


     2. ARRANGEMENT.

          Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel non nul.

          Soit p un entier tel que 0 < p <= n.

          Toute partie ordonnée de p éléments de E est un ARRANGEMENT de p éléments

           pris parmi les n éléments de E.  On note  An p  le nombre de ces arrangements.

              On a :    An p  = n!  / ( ( n - p )!


          EXPLICATION:

          Shéma:      I  n  I n - 1 I  .....I  n -  ( p - 1 ) I       Pour le premier terme n  possibilités.

                                                                                Pour le second terme ensuite n - 1 possibilités

                                                                                  ...........................

                                                                                 Pour le pième  terme  n - ( p - 1 ) possibilités.

                           Donc d'après le principe multiplicatif il y a         n × ( n - 1 ) ....   × ( n - ( p - 1 ) ).

    Or            n! / ( n - p )!  = (  1 × 2 ...... ×( n - p ) ×( n - ( p - 1 )) ×........ × n ) / ( 1 × 2 ...... ××( n - p )

                c-à-d    par simplification        An p          =  n × ( n - 1 ) ....   × ( n - ( p - 1 ) )

                          D'où le résultat. 


  3. EX.            Une classe E contient 24 étudiants. 

                     Combien d'équipes de deux étudiants " pilote" ," copilote" peut-on former?


      REP.          •  Chaque équipe est un arrangement de 2 étudiant choisis parmi

                           les 24 étudiants.

                           Il y en a donc A24 3  =  24! / ( 24 - 2 )! = 24! / 22!

                            c-à-d         A24 2  =  23  Shéma:             I  24  I 23 I        Pour le pilote 24 possibilités.

                                                                        Pou le copilote ensuite 23 possibilités.

                           Donc d'après le principe multiplicatif il y a 24 × 23 possibilités.

                       • Autre démarche:  Schéma:             I  24  I 23 I        Pour le pilote 24 possibilités.

                                                                                         Pour le copilote ensuite 23 possibilités.

                           Donc d'après le "principe multiplicatif "  il y a   24 × 23    possibilités.


    4. PERMUTATION.

                              Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel non nul.

                             Tout arrangement des n éléments de E est une permutation de E.

                              Cela revient à ordonner E.

                            Il y a n! permutations de E.


     5. EX.               Il y a  24!  permutations de l'ensemble des 24 élèves d'une classe.


     6.  COMBINAISON.

                              Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel .

                                 Soit p un entier tel que 0 ≤ p ≤  n .

                                 Toute partie de p éléments de E est une combinaison de p

                                  éléments pris parmi les p éléments de E.

                                  On note  Cn p   le nombre de combinaison de p éléments parmi les n

                                 éléments de E.

                                   On a : Cn p   = n! / ( ( n - p )!  p! )

 


            7. EX.

                            Combien de parties de 4 étudiants peut-on former dans un

                             ensemble de 24 étudiants ? 


                   REP.              Il y en a :   C24 4   = 24! / ( 24 - 4 )!  4! )

                                   c-à-d            C24 4   = 24! / ( 20!  4! ) = ( 21 ×22× 23 ×24 ) / ( 1 × 2 ×3 ×4 )

                                     c-à-d        C24 4    = 7  × 11 × 23 × 6