LECON N°2 DENOMBREMENTS BTS TS
1. Notation "FACTORIELLE".
0! = 1 1! = 1 2! = 1×2 = 2
n! = 1 ×......×n pour tout entier naturel n non nul.
2. ARRANGEMENT.
Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel non nul.
Soit p un entier tel que 0 < p <= n.
Toute partie ordonnée de p éléments de E est un ARRANGEMENT de p éléments
pris parmi les n éléments de E. On note An p le nombre de ces arrangements.
On a : An p = n! / ( ( n - p )!
EXPLICATION:
Shéma: I n I n - 1 I .....I n - ( p - 1 ) I Pour le premier terme n possibilités.
Pour le second terme ensuite n - 1 possibilités
...........................
Pour le pième terme n - ( p - 1 ) possibilités.
Donc d'après le principe multiplicatif il y a n × ( n - 1 ) .... × ( n - ( p - 1 ) ).
Or n! / ( n - p )! = ( 1 × 2 ...... ×( n - p ) ×( n - ( p - 1 )) ×........ × n ) / ( 1 × 2 ...... ××( n - p )
c-à-d par simplification An p = n × ( n - 1 ) .... × ( n - ( p - 1 ) )
D'où le résultat.
3. EX. Une classe E contient 24 étudiants.
Combien d'équipes de deux étudiants " pilote" ," copilote" peut-on former?
REP. • Chaque équipe est un arrangement de 2 étudiant choisis parmi
les 24 étudiants.
Il y en a donc A24 3 = 24! / ( 24 - 2 )! = 24! / 22!
c-à-d A24 2 = 23 Shéma: I 24 I 23 I Pour le pilote 24 possibilités.
Pou le copilote ensuite 23 possibilités.
Donc d'après le principe multiplicatif il y a 24 × 23 possibilités.
• Autre démarche: Schéma: I 24 I 23 I Pour le pilote 24 possibilités.
Pour le copilote ensuite 23 possibilités.
Donc d'après le "principe multiplicatif " il y a 24 × 23 possibilités.
4. PERMUTATION.
Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel non nul.
Tout arrangement des n éléments de E est une permutation de E.
Cela revient à ordonner E.
Il y a n! permutations de E.
5. EX. Il y a 24! permutations de l'ensemble des 24 élèves d'une classe.
6. COMBINAISON.
Soit E un ensemble fini de cardinal n avec n entier naturel .
Soit p un entier tel que 0 ≤ p ≤ n .
Toute partie de p éléments de E est une combinaison de p
éléments pris parmi les p éléments de E.
On note Cn p le nombre de combinaison de p éléments parmi les n
éléments de E.
On a : Cn p = n! / ( ( n - p )! p! )
7. EX.
Combien de parties de 4 étudiants peut-on former dans un
ensemble de 24 étudiants ?
REP. Il y en a : C24 4 = 24! / ( 24 - 4 )! 4! )
c-à-d C24 4 = 24! / ( 20! 4! ) = ( 21 ×22× 23 ×24 ) / ( 1 × 2 ×3 ×4 )
c-à-d C24 4 = 7 × 11 × 23 × 6