TS INFO BAC BLANC TS 15/2/14
EXERCICE 4
Partie A
ROC.
Soit z1 et z2 deux nombres complexes.
Démontrons que: | z1 z1 | = |z1 | × | z2 |
Cela revient à établir que : | z1 z1 |2 = |z1 |2 × | z2 |2 ( 1 )
Mais pour tout nombre complexes z on a:
Etabilr ( 1 ) revient à établir :
Pour cela il suffit de montrer que :
( 2 )
En posant z1 = a + i b et z2 = a ' + i b'
il est immédiat que l'on a :
z1 z2 = ( a a' - b b ' ) + i ( a ' b + a b ' )
Le conjugué de z1 z2 est :
( a a' - b b ' ) - i ( a ' b + a b ' ) = ( a - i b ) ( a ' - i b ' )
D'où l'égalité ( 2 ).
Conclusion: Le résultat est avéré.
Partie B
Soit f la transformation ( c'est une application ( "bijective" ) du plan dans le plan )
qui à tout point M d'affixe z ≠ 1 associe le point M ' d'affixe z ' tel que :
1. Soit C le point d'affixe zC = - 2 + i.
a. Calculons l'affixe zC ' du point C ' image de C par f .
En remplaçant z par zC dans l'égalité:
On obtient:
Conclusion:
b. Montrons que le point C ' appartient au cercle
de centre O et de rayon 1.
En effet:
Ainsi :
Cela se traduit géométriquement par : OC ' = 1
Conclusion : Le point C ' est bien sur le cercle
c. Montrons que les points A , C , C' sont alignés.
On a :
Conclusion: Les points A , C , C ' sont alignés
2. Déterminons Δ l'ensemble des points M du plan tels que A soit leur image par f.
Considérons pour cela :
Rappel :
Conclusion:
On obtient la droite Δ verticale passant par le point A privée du point A.
3. Montrons que pour tout point M distinct de A , le point M ' est sur le cercle
En effet:
On a:
Cela se traduit géométriquement par:
O M' = 1
Conclusion : Tout point M distinct de A a une image M' sur le cercle
4. Montrons que pour tout nombre complexe z ≠ 1 on a :
Soit z ≠ 1
On a :
Le dénominateur est un réel strictement positif : | z - 1 |2
Le numérateur est un réel: 2 - 2 Re( z )
Donc:
Conclusion: Quand z ≠ 1
On peut en déduire que quand M ≠ A les points A M et M ' sont alignés.
5. Pour un point D distinct du point A plaçons le point image D '.
On dispose de deux information:
• Le point D ' sera sur le cercle
• Les points A , D , D ' sont alignés.
Comme le point A est sur le cercle il suffit de considérer la seconde intersection
du cercle avec la droite ( AD ) pour obteir le point D.
Figure:
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