EX BARYCENTRE 1

LISTE D'EXERCICES SUR LES BARYCENTRES.

 

   EX 1  Soit A et B deux points distincts du plan.

            Soit  U l'ensemble des points du plan tels que les vecteurs  4 vect(MA) + 4 vect(MB)

 

 

            et   vect(MA) + 7 vect(MB) soient de même norme. 


 REP     • Soit H le milieu du segment [ AB ] . c'est l'isobarycentre des points A et B.

                 On peut dire que H le barycentre des points pondérés ( A , 4 ) et ( B , 4 ).  

              •  Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 7 ). Il existe car

                  1 + 7 = 8 non nul.

                      On a:            vect(MA) + 7 vect(MB) = ( 1 + 7 ) vect(MG)    ( Prop. fond. )

                                           4 vect(MA) + 4 vect(MB) = ( 4 + 4 ) vect(MH)      ( Prop. fond.)

          U est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs   8 vect(MG)

         et  8 vect(MH) soient de même  norme ,

          c-à-d   tels que  MG =  MH. 

Conclusion: U est la médiatrice du segment [ GH ].
         


 

          EXERCICE 2.

                 L'espace est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

                 Soit les points  A   ( 3 ; 2 ; 1 )   B ( 1 ; 4 ; - 1 )     C( - 1/ 2 ; 2 ; 1 )

             1. Montrer que le point G ( 9/ 4 ; 1 ; 2 ) est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) , ( B , - 1 ),

                (C, 1 ) .

             2.  a. Trouver le coordonnées du point D , barycentre des points

                      pondérés ( A , 2 ) et ( B ,  - 1 ).

                  b. Trouver les coordonnées des vecteurs  vect( DC )  et  vect( GC ).

             3. Trouver le réel λ tel que :      vect( DC ) = λ vect( GC ).

             4. Que peut-on dire des points D , G , C ?             


            REP.    1.  G existe car  2 - 1 +1 = 2  non nul.

                          xG = (  2 × 3 - 1  × 1 + 1× ( - 1 / 2 ) ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 9 / 4

                          yG  =(  2 × 2  -  1  × 4 + 1 × 2  ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 1

                         zG  =(  2 × 1  -  1  × ( - 1 ) + 1 × 1  ) / ( 2 - 1 + 1 ) = 2

 

                     2. a .  On obtient :  D (  5 ; 0 ; 3 ) . 

                     2. a .  On obtient :  D (  5 ; 0 ; 3 ) . 

 

 

 

 

 

                               En effet :

                               xD  =  (  2 × 3 - 1  × 1 +  ) / ( 2 - 1  ) = 5

                                yD  = (  2 × 2  -  1  × 4   ) / ( 2 - 1  ) = 0

                                zD  = (  2 × 1  -  1  × ( - 1 )   ) / ( 2 - 1  ) = 3

            

             b.    vect( DC ) est de coordonnées ( - 11 / 2 ; 2 ; - 2 ).

 

                                   En effet:

 

                                 xC  -  xD   = - 1 / 2  - 5 = - 11 / 2

                                 yC  = yD    = 2  -  0  = 2

                                 zC  - zD   = 1 - 3 = - 2

                               

                               vect( GC )    est de coordonnées ( - 11 / 4 ; 1 ; - 1 ) .

                                     En effet :

                                            xC  -  xG   = - 1 / 2  -  9 / 4  = - 11/ 4

                                             yC  = yG    = 2  -  1  = 1

                                            zC  - zG   = 1 -  2 =  - 1

                           

                      3.   On a    λ = 2 .

                             En effet          

                                             xC  -  xD   = 2  (    xC  -  x )

                                             yC  = yD    = 2  ( yC  = yG  )   

                                            zC  - zD   = 2 ( zC  -   zG   )

                                             

 

                      4.   D , G , C sont alignés.

                          En effet :

                             Les vecteurs vect( DC ) et vect ( GC ) sont colinéaires

D,  G  , C  sont bien alignés