INFO TEST 1 TS2 NB COMLEXES

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                                  DS n° 1             Samedi 01 octobre 2011                TS2

            EXERCICE 1                        3,75 points

                       Soit les deux nombres complexes:

                        z = 1 + i

                       z '  =  2 j             avec   j = - 1 / 2   +  i √ 3  / 2

                       Donner des formes exponentielles des nombres complexes suivants:

                          z   ,  z '   ,    z x z '   ,    z  / z'    ,  5  .

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    Réponse :

           • Pour z.

                          On a :   | z | = | 1 + i | = √( 1 2 + 1 2   ) = √2

                         Donc z =  √2 1 + i  = √2  ( 1 / √2    + i  1 / √2 )


   Ainsi :    z =   √2  ( √2 / 2    + i   √2  / 2   )

      Soit θ un réel tel que  cos  θ =    √2 / 2

                                           sin θ  =   √2 / 2

              θ  = π/4   convient .

 Donc :      z =  1 + i = √2 eiπ/4    

     •Pour z'.

           On a :   | j | = √ ( ( - 1 / 2 )2 + ( √3  / 2 )2    ) =  √ (  1 / 4 +  3  / 4   ) =  √ 1 = 1

             Ainsi :| z' | = 2 | j | = 2 ×1 = 2

                  z' = 2 j = 2(  - 1/ 2 + i √3  / 2 )   

Soit θ un réel tel que         cos  θ =   - 1 / 2

                                           sin θ  =   √3 / 2

    θ  = 2π/3   convient.

       Ainsi :                 z' = 2 e2πi / 3  

   •  z × z ' = 2 √2 ei(π/4+ 2π / 3 ) 2 √2 ei(11π/12)    

   •  Pour z / z' .

             De même    z / z' =   √2 / 2   ei( π/4 - 2π / 3 )   =  √2 / 2   e - 5π i / 12

Conclusion :     z = √2 eiπ/4 

                       z' = 2 e2πi / 3  

                       z ×z '  = 2 √2 ei(11π/12)     

                      z / z'  = √2 / 2   e- 5π i / 12 )    

                     5 = 5 ei0

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             EXERCICE 2                  16,25  points                    

                   Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).

                      Soit le polynôme  Q( z ) = z3 + 2 z2 + 7 z + 30    où z est dans l'ensemble

                      des nombres complexes.

                     1. Peut-on trouver trois réels a , b , c tels que :

                           Q( z ) = ( z + 3 ) ( a z2 + b  z + c )  pour tout nombre complexes z ?

                         Réponse :   OUI . 

                                          On a :   Q( - 3 ) = 0

                                          Donc Q( z) est factorisable par z + 3 .

                           Dans l'affirmative trouver ces trois réels.

                      Réponse :      a = 1       b = - 2    et     c = 10

                     2. Soit les nombres complexes  Z = 1 + 3 i    et   Z2  = 1 - 3 i

                        a. Trouver  la somme S = Z1 + Z 2    et le produit   P = Zx Z2     .

                            Réponse :            S =2      et      P =10

                        b. Résoudre l'équation  z2 - S z+ P = 0  dans l'ensemble des nombres complexes.

                           Réponse :  SC  = { 1 + 3 i  ; 1 - 3 i }

                     3. Résoudre l'équation Q( z ) = 0  dans l'ensemble des nombres complexes.

                          Réponse :   SC   = { - 3 ; 1 + 3 i ; 1 - 3 i }

                     4. Trouver les modules de Z1   et   Z2.

                         Réponse :       | Z1   | = √10  = | Z2   |

                     5. On considère les points A , B , C d'affixes respectivement

                           Z   ,  Z2   , - 3 .

                                a.  Placer les points A , B , C dans les repère orthonormal ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).

                         b.  Quelle particularité géométrique possède le triangle ABC ? 

                               Réponse :        AB = 6        AC = AB  = 5    Il est isocèle en C.

                             ( Justifier la réponse )

          Prolongement si vous avez le temps:       Bonus  3 points

                     6. Soit le point D d'affixe le réel negatif  zD   = 1 + 3 3 .

                        a.Mettre sous la forme exponentielle le quotient :

                           ( zD - zA ) / ( zB - zA )

               Réponse :   ( zD - zA ) / ( zB - zA ) =  eiπ / 3 

                        b.Quelle est la nature du triangle ABD  ?

                            ( vect(AB) , vect( AD) ) = π / 3   ( 2π  )

                         De plus    AD / AB  = 1  car   |   ( zD - zA ) / ( zB - zA )  | = |   eiπ / 3   | = 1
        

                            ( Justifier la réponse ).

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