INFO TEST PROBA Fév. 2011

         Nom: ..............        Prénom : ................      classe:   ..............   Date : ..................

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      •   Soit A, B deux événements. Compléter les égalités:    P( A U B ) = P( A ) + P( B )   si A  ∩  B = Ø

           Dans le cas général :  P( A U B ) = P( A ) + P( B ) - P( A ∩ B)  

            P(     ) 1 - P( A )

        •   Soit   Ω = { ω1  , ....... , ωn  }   l'univers des possibles d'une expérience aléatoire. Soit A un événement.

             •   •    Dans une situation d'équiprobabilité on a :   P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

              •   •   Quels sont les événements élémentaires?  { ω1 }  , {  ω2 }  , ....... , { ωn  }  

              •   •   Que  vaut la somme des probabilités des événements élémentaires?   1  

              •   •   Peut-on avoir une probabilité égale à 1 , 2 ?      NON

        •  Une urne contient 7 boules noires et 13 boules blanches .  

                                          

          On tire simultanément trois boules de l'urne.

         • • Soit A l'événement : " Obtenir deux boules blanches et une boule noire.

             Trouver P( A ).

              L'univers des possibles Ω est l'ensemble des combinaisons de 3 boules prises

               parmi les 20 boules de l'urne.3

                   On a :  Card( Ω ) = C 20 3    = 1140

                 On est dans une situation d'équiprobabilité.  

                Donc :   P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                On a       Card( A ) =  C13 2   × C 7  1   = 78 ×  7 = 546

              Ainsi     P( A ) = 546 / 1140

               c-à-d  

                     Conclusion :    P( A ) = 91 / 190

                 • •     Trouver   P (     )

                       On a :   P (       ) = 1 - P( A )

                      D'où      P(  ) = 1 - 91 / 190 = ( 190 - 91 ) / 190 = 99 / 190

                          Conclusion :    P(    ) =  99 / 190

                  • •    Soit B l'événement : " Obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur."

                       Trouver P( B ).

                     Considérons : P( B ) = 1 - P(  )

                   Mais  P(  ) = Card(  ) /  Card( Ω )

                         est l'événement : " Obtenir trois boules de la même couleur".

                      Donc      Card(  ) =  C7 3   +  C 13  3    =  35 + 286 = 321

                   Ainsi :

                      P( B ) = 1 -  321 / 1140 =  ( 11 40 - 321 ) / 1140 = 819 / 1140

                   Conclusion :  P( B ) = 273 / 380

                          • •   Trouver P( A U B ).

                              On a :   P(A U B ) = P( A ) + P( B ) - P( A  ∩  B )      

                               Mais   A ∩ B = A      

                             Donc   P( A U B ) = P( A ) + P( B ) - P( A )  = P( B )

                      Conclusion :  P(A U B ) =  273 / 380             

                    • Reprendre les mêmes questions mais en sachant que on tire successivement

                     sans remise trois boules de l'urne.                       

                     L'univers des possibles Ω est l'ensemble des arrangements de 3 boules prises

                 parmi les 20 boules de l'urne.

                   On a :  Card( Ω ) = A 20 3    = 6840

                 On est dans une situation d'équiprobabilité.  

                Donc :   P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                On a       Card( A ) =  C3 ¤1   × A 13  2    ×  A 7  1  =  3276

              Ainsi     P( A ) = 91 / 190                   (    résultat identique )

               Donc     P (       ) = 99 / 190         ( résultat identique )

              On a      Card(  ) =  A7 3   +  A 13  3    =  1926

              et      P( B ) = 1 - P(  )

               Donc :     P( B ) = 1 -  1926 /  6840

              Ainsi         P( B )  = 273 / 380                (    résultat identique )

             On a :      P( A U B ) = P ( B )  

             Donc        P( A U B )   = 273 / 380             (  résultat identique )

                   •  Reprendre les mêmes questions mais en sachant que on tire successivement    

                    avec  remise trois boules de l'urne.     

                                   Card(  Ω )  = 203    = 8 000

                                 On est dans une situation d'équiprobabilité.

                               • •  Card( A ) =   C3 1  × 13 × 13 × 7  = 3549

                                                          P(A ) = 3549 / 8000

                                • •    On a :        P(  ) = 1 - P( A )

                                                     P (      ) =  4451 / 8000

                                • •  On a :       P( B ) = 1 - P(  )

                                     Mais      Card( (  )   =  133   + 7 3  = 2540 

                                     Donc        P(   ) = 2540 / 8000

                                     Ainsi :   P( B ) =  5460 /  8000 =  273 / 400

                                              c-à-d 

                                                  P( B ) = 273 / 400

                                • • On a :     P( A U B ) =P( B )

                                      Donc      P( A U B ) =  273 / 400

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