INFO DS 10 AVRIL 09 BTS1A

 INFO    SUR LE DEVOIR SURVEILLE       BTS1 A         Vendredi 10 avril 2009              

       EXERCICE 1

        1.  Résoudre dans IR3   le système  linéaire suivant.

   2     x +     y +     z  =  0          L1                         
                    5 y - 7 z =  8          L 
                            3 z  = 3          L3   

     Le système est déjà triangulaire. 

         L3    donne    3 z = 3

                     c-à-d  z = 1

        Puis  L  donne   5 y = 8 + 7 z =  15

                          c-à-d  y = 3

        Enfin  L1   donne 2 x = - y - z = - 3 - 1

                       c-à-d     x = 2

        Conclusion : S = { ( - 2 , 3, 1 ) }

        2.  Triangulariser le système puis le résoudre.

        x +   2  y +     z  =  0         L1                           
        x  +  y  +  4 z         =  4          L
         x-  y - z = 1           L3   

  Considérons         L3   ←   L-   L1           et           L3   ←  L3  -  L1             

 Le système s'écrit :       

        x +   2  y +     z  =  0         L1                           
                    - y  +  3 z         =  4          L
                   -  3 y - 2 z = 1           L3   

 Considérons :    L3   ←  L3  - 3 L2     

    Le système s'écrit :       

        x +   2  y +     z  =  0         L1                           
                    - y  +  3 z         =  4          L
                             - 11 z = -11       L3   

 L3      donne  z = 1

Puis    L2     donne   y = 3 z - 4 = 3 - 4 = - 1

                      c-à-d     y = - 1

 Enfin   L1     donne  x = - 2 y - z  = - 2 ( - 1 ) - 1 = 1

                    c-à-d    x = 1

      Conclusion : S = { ( 1 , - 1 , 1 ) }

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      EXERCICE 2             

         Soit les matrices : 

 /  0     1  -1  \
M = |  -3     4  -3   |
 \ -1     1   0  /

  

 /  1     0   0  \
I = |   0     1   0   |
 \  0     0   1  /

   1. Calculer M2 et M3 .       

 /  - 2     3  - 3  \
M² = |    -9     10  - 9    |
 \  -3     3  - 2  /

 

 /  - 6     7    -7  \
M3 = |  -21     22  -21   |
 \   -7     7   - 6  /
                          

   2. Déterminer les réels a et b tels que  M2 = a M + b I .

 On a :

 /    b     a  - a   \
a M + b I = |    -3 a     4 a + b  - 3 a  |
 \  - a     a     b   /

et

 /  - 2     3  - 3  \
M² = |    -9     10  - 9    |
 \  -3     3  - 2  /

    Ainsi :    M2 = a M + b I .

 

   entraîne   :  b = - 2     et    a = 3   en  considérant  les deux premiers termes

   de la première ligne.

   Conclusion :  a = 3       b = -  2     

   3. Exprimer alors  Men fonction de M et I , puis écrire  Msous la forme d'une

       matrice à trois lignes et à trois colonnes.

        On a:    M2  =    3 M - 2  I .

                   c-à-d    M  × M2 =   M  × (    3 M -  2  I   )

         Conclusion :   M3   = 3  M2  - 2 M × I     

                   c-a-d     M3   = 3  ( 3 M - 2  I   )  - 2 M × I 

                  c-à-d      M3   =   9 M -  6  I - 2 M  

            Conclusion:       M3   =   7 M -  6  I      

       Comparer avec le résultat obtenu à la première question.

     On obtient :

 /  - 6     7    -7  \
7 M - 6 I = |  -21     22  -21   |
 \   -7     7   - 6  /

Donc

 /  - 6     7    -7  \
M3 = |  -21     22  -21   |
 \   -7     7   - 6  /

    On retrouve le même résultat.

    4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut  écrire

                   I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

          L'égalité  M2 = 3 M - 2  I .

   

           s'écrit :      2  I = 3 M  -  M²

          c-à-d    2  I  = M × ( 3 I - M )

 Conclusion :      I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

          b . En déduire une matrice P telle que M × P = I.

              L'égalité   I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

               s'écrit :   I = M × ( 1 / 2 ) ( 3 I - M  )

              Ainsi on peut considérer  P = ( 1 / 2 ) ( 3 I - M  )

                  Conclusion :     P = ( 3 / 2 ) I - ( 1 / 2 ) M   

         c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois colonnes.

          On a :

 /  3/2     -1/2   1/2  \
P= |   3/2     -1/2   3/2    |
 \  1/2     -1/2   3/2 /

         d. Calculer P × M .

        On obtient :   P × M  = I

        (    Comme M × P = I = P× M   la matrice P n'est autre que l'inverse de la matrice M.

               M - 1   = P .

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      EXERCICE 3

           On considère le graphe défini par le tableau suivant: 

 

Sommets Successeurs
A A B D
B A  C
C A
D C

        1. Déterminer la matrice adjacente M de ce graphe .

 / 1 1 0 1 \
| 1 0 1 0  |
M = | 1 0 0 0  |
 \ 0 0 1 0 /

        2. a. Calculer la matrice M² = M ×M   où × représente la multiplication des matrices.    

    

 / 2 1 2 1 \
| 2 1 0 1  |
M² = | 1 1 0 1  |
 \ 1 0 0 0 /

            b. Utiliser le résultat précédent pour calculer le nombre total de chemins de longueur 2

                du graphe puis le nombre de chemins de longueur 2 partant de A.

              La ligne  de A  est    :             2      1     2      1

                2 + 1 + 2 + 1 = 6

               Il y a donc 6 chemins de longueur 2 qui partent de A.

                Citer tous les chemins de longueur 2 partant de A.

               AAA            ABA             ( De A à A )

               AAB                                ( De A à B )

               ABC       ADC                   ( De A à C )

              AAD                                  ( De A à D )

         

       3. Citer tous les chemins de longueur  3 partant de D.

           (  On pourra utiliser M3  . )

           On a :

 / 5 2 2 2 \
| 3 2 2 2  |
M3 = | 2 1 2 1  |
 \ 1 1 0 1 /

         La ligne de D est :                 1    1    0   1

                1 + 1 + 0 + 1 = 3

          Il y a donc 3 chemins de longueur 3 partant de D.

                     DCAA               DCAB       DCAD 

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  EXERCICE 4    

          Les questions 1) et 2) peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

     1. On considère l'ensemble E = { x , x2  , x3  } et l'application f de E dans E définie par

         f(  x ) =  x 

         f( x ) =  x 

         f(  x  ) =  x 

         a. Déterminer les antécendents  par f de chacun des éléments de l'ensemble E.

           x1   et  x  sont les antécédents de x2 .

           x2   est l'antécédent de x 

        b. L'application f est-elle une injection de E dans E ? ( Justifier ).

             NON.   x1   et  x  bien que différents ont la même image  x2  .

             f ne conserve pas la distinction.

        c. L'application f est-elle une surjection de E sur E ? ( Justifier ).

             NON.   x1   n'a pas d'antécédent par f.

       2. On considère le graphe orienté G , de sommets x , x et  x , tels que les successeurs

            de x , x2  , x sont respectivement   f(  x ) ,  f( x ) ,  f(  x  ) .

           a. Donner une représentation géométrique de ce graphe.

      

           b. On note M la matrice d'adjacence de G.  

               On constate que  :

 /   0   1  0   \
M = |    0   0  1    |
 \   0   1  0   /

               Expliquer pourquoi la première ligne de M est  0  1  0 .

               Le seul arc d'origine  x  est  l'arc (  x , x ).

               On n'a pas les arcs orientés (  x , x ) ni (  x , x ).

          c. On note G ' la fermeture transitive de G.

              On rappelle que G' est le graphe obtenu en conservant les sommets de G

               et en ajoutant , s'ils n'existent pas  dans G, les arcs ( x , x )  lorsqu'il existe un chemin

              d'origine x  et  d'extrémité x  dans le graphe de G.

              Tracer la représentation géométrique de G' et vérifier que la matrice adjacente M '

               du graphe G'  est :

 /   0   1  1   \
|    0   1  1    |
 \   0   1  1   /

  Il y a 3 raccourcis dont deux boucles.

   La matrice de la fermeture transitive est donc:

 /   0   1  1   \
|    0   1  1    |
 \   0   1  1   /

                  d. Calculer les matrices booléennes  M[2]    et   M[3]  .  

         Pour trouver  M[2]    il suffit de considérer la matrice M²

       puis de remplacer les termes non nuls par 1 en laissant les 0.

 /   0   0  1   \
M[2]    = |    0   1  0    |
 \   0   0  1   /

       Même méthode pour M[3]  

 /   0   1  0   \
M[3]    = |    0   0  1    |
 \   0   1  0   /

                      Vérifier que M ' = M (+) M[2]  (+) M[3]      ,

                      où (+) représente l'addition booléenne des matrices.

 /  0 1  0  \  / 0 0  1  \    / 0 1  0 \
 M (+) M[2]  (+) M[3]  =    |    0 0  1   | (+) |   0 1  0   | (+) |   0 0  1  |
     \  0 1  0  /  \  0 0  1  /    \  0 1  0 /

 /   0   1  1   \
M (+) M[2]  (+) M[3]  = |    0   1  1    |
 \   0   1  1   /

               Conclusion:     On a bien l'égalité. M ' = M (+) M[2]  (+) M[3]   

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