DS n° 6 1S1 17 février 2010

                              DS n° 6               1S1   mercredi 17 février 2010            

                         EXERCICE 1        8 POINTS
              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O; vect( i ) , vect j ) ).
              Unité graphique : 2 cm
              Soit la fonction f : x → ( x² - x + 1 ) / x  définie sur IR*. 
              Soit ( C ) la courbe de la fonction f .
        1. Trouver trois réels a , b , c tels que :  f( x ) = a x + b + c / x   pour tout x dans IR* .
        2. On sait, d'après le cours :
               • La fonction affine x→  a x + b    admet pour fonction dérivée la fonction sur x→ a  sur IR.
               • La fonction inverse admet comme fonction dérivée sur  IR* la fonction x →  - 1 /x²   . 
               • Sur un intervalle I la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables est
                  la somme des fonctions dérivées des deux fonctions.

                   On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f sur IR*.
                   Montrer que f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²  pour tout x dans IR*.
        3. Donner le signe de f ' ( x  ) suivant x dans  IR*.

        4. On admet que si sur un intervalle I la fonction dérivée d'une fonction est positive
             ( respectivement négative ) alors la fonction est croissante sur I ( respectivement

              décroissante sur I ) .

            Donner le sens de variation de f .

        5. On note Δ la droite, tangente à la courbe ( C ) , au point d'abscisse 1.

            Quel est son coefficient directeur ? Donner une équation de cette droite  Δ.

        6. Parmi les courbes suivantes indiquer celle de f.

           Puis reproduire celle de la fonction f sur IR*+ ?

                                              Figure 1     Ck

                                     Figure 2     Ch

                                   Figure 3     Cρ

       7. a. Trouver une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point A( 2 ; 1,5).

           b. T passe-t-elle par l'origine O ? par le point A ?
                Tracer T.
           c. Donner une équation de la droite D' passant par le point A et orthogonale à T.
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                 EXERCICE 2              5 POINTS

                     Soit la fonction g : x→  2 x3 - 3 x2 -  36 x + 1.

         1.a. Trouver la fonction dérivée g ' de la fonction g.
            b. Montrer que g' ( x ) = 0  ssi    x² -  x - 6 = 0 , pour tout dans IR.
         2. Donner le signe de  g '( x )  suivant x dans  IR.
         3. a. Calculer g( 1 ) et  g ' ( 1).
             b. On rappelle que :  g( 1 + h ) ≈ g( 1 ) + h g' ( 1 ) pour h voisin de 0.
                 En déduire une approximation affine de g( 1,2 ).
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                  EXERCICE 3         7 POINTS
                      Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
              Soit les points A( -2 ,0 ), B ( 2 , 0) et C ( 0 , 2√3 ).
              Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 2 ).
              Soit G ' le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , - 2 ).

           1. Faire une figure.

           2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

           3. a. Donner une équation de la médiatrice du segment [AC].

               b. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

           4. Soit le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

               Donner les coordonnées du point D.

           5. Déterminer et représenter l'ensemble W des points M du plan tels que :

                     ( vect( MA ) + 2 vect( MB ) ).  ( vect( MA ) - 2 vect( MB ) )  = 0 


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               EXERCICE             Facultatif , hors barème, de découverte, s'il vous reste du temps.


                   Il existe une fonction ln , notée LN sur une touche de la calculatrice.
                   La fonction ln est définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ et
                   l'on a :     ln '( x ) = 1 / x  pour tout x dans  ] 0 , + ∞ [ .
                                   ln( 1 ) = 0
             1.a. Quel est le signe de ln'( x ) suivant x dans   ] 0 , + ∞ [ ?
                b. En déduire le sens de variation de la fonction ln.
                c. Puis donner le signe de ln( x ).
              2. Soit la fonction f : x → x + ln( x ) définie et dérivable sur  ] 0 , + ∞ [.
                  a. Trouver la fonction dérivée f ' de f.
                  b. Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans  ] 0 , + ∞ [.
                  c. En déduire le sens de variation de la fonction f.
                  d. Donner une équation de la tangente T à la courbe de la fonction f

                      au point d'abscisse 1.
                3. Soit la fonction g : x→ x ln( x )  - x  définie et dérivable sur  ] 0 , + ∞ [.
                    a. Avec la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions u , v définies
                        et dérivables dans un intervalle I, ( u v )' = u v' + u' v
                        c-à-d , ( u v )'(x) = u( x ) v'( x ) + u'( x ) v( x )  pour tout x dans I,
                        montrer que g '  = ln   sur  ] 0 , + ∞ [.
                   b. Déduire du 1.c. le signe de g '( x ) suivant x dans  ] 0 , + ∞ [..
                   c. Puis donner le sens de variation de g.

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