EX bac.Th de la bijection

 

                    EXTRAIT D'EXERCICE DE BAC     sur le Th de la bijection        Nov.2010    TS

            EXERCICE

                   Soit le plan muni d'unrepère orthonoermal.

                   On considère la fonction f : x → ( - 3 x + ex ) / x définie sur IR - { 0 }.

                 On note ( C ) sa courbe représentative .

           1. Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle  [ 1 , 2].

           2. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,01.

              ( On pourra utiliser la dichotomie )

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             RAPPEL ou ANTICIPATION  :   

                                La fonction exponentielle exp d'expression ex  ,  est définie,

                                positive strictement , dérivable ( donc continue ) sur IR.

                                Elle est égale à sa fonction dérivée.

                                Elle est donc strictement croissante sur IR.

                                 De plus :      lim ex   = + ∞     et    lim ex   = 0

                                                   x → + ∞                     x → - ∞


                              Sa courbe est :

                                       courbeexp.jpg

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          Réponse:   Courbe de la fonction sur les réels strictement positifs.

                                     ex-bac-th-bij.gif 

                                                       

           1. Existence et unicité de  α .

               La fonction f est définie sur IR*.

               Soit          u : → - 3 x + ex       et   v : x→ x  

               On a :      f = u / v

          Les fonction u et v sont définies et dérivables dans IR* et  v  y est non nulle.

          Donc la fonction u / v    c-à-d   f est définie et dérivable dans IR*.

            On a :     u' : → - 3 + ex       et   v ' : x→ 1 

             f '  =  ( v u ' - u v ' ) / v2

               Soit x dans IR* .


                 f '( x ) = [ x ( - 3 +  ex ) -   ( - 3 x + ex   ) 1] / x2 

      c-à-d            f '( x ) = [ - 3 x + x ex   + 3 x -  ex   ] / x2 

      c-à-d            f '( x ) =  [ ( x - 1 )  / x2   ] ex 

      Ainsi             f '( x ) est du signe de x - 1

                            Donc :          f '( x ) = 0 ssi x = 1

                                                f '( x ) > 0 ssi  x > 1

                                                f '( x ) < 0  ssi x < 0

              D'où:

                Sur l'intervalle [ 1 , 2 ] la restriction de f est définie , dérivable( donc continue )

                strictement croissante .

               f( 1 ) = - 3 + e ≈ - 0,281

               f( 2 ) = ( - 6 + e2  ) ×2  ≈ 0,694

              0 est une valeur comprise entre f( 1 )  et f( 2 ).

              Donc

             Conclusion:  D'après le Th de la bijection l'équation f( x ) = 0

               admet une unique solution α.

           2. Encadrement de α .

               Utilisons le  programme de Dichotomie de la TI 84.

                   A = 1       B = 2          E = 0,01 

                 On obtient : 

                   1                     2

                   1,5                  2

                   1,5                  1,75

                   1,5                  1,625

                   1,5                  1,56250

                   1,5                  1,53125

                   1,5                  1,51563

                   1,50781           1,51563

     Conclusion :     1,50781 <  α   < 1,51563

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