I ST. BTS

 

                               INFO   STAGE BTS1    SEPT. 2009      

       

             Premier travail.

          1. 

               Le point A(0,2) est sur la courbe de  f .

                Ainsi :       f ( 0) = 2 .

               Ce qui  se traduit par :       ( 0² + 0 a ) e0 + b =  2   

               c-à-d    0 + b = 2         c-à-d    b = 2 

b = 2

               La fonction  f   est définie et dérivable sur IR  comme somme et

               produit de telles fonctions.

               Soit x dans IR .

                   f  '( x ) = ( x² + a x ) ex + ( 2 x + a ) ex

                  f  ' ( x ) = ( x² + a x + 2 x + a ) ex  

                La tangente au point B( 1 ,  f ( 1 ) ) est horizontale.

                Ainsi:       f ' (1) = 0 .

                  Ce qui se traduit par :      ( 1² + a 1 +2  +a) e1  = 0   

                   c-à-d          ( 3 + 2a ) e = 0     

                    c-à-d          3 + 2 a = 0    sachant que  e ≠ 0 .

                   c-à-d               a = - 3 / 2 .           

a = - 3 / 2

               Finalement       f ( x ) =  ( x² - ( 3 / 2 ) x ) ex + 2  

                  2.     Considérons :   f   ( x ) = 2

                              c-à-d      ( x² - (3 / 2) x ) ex  + 2 = 2

                              c-à-d      x ( x - 3 / 2  ) ex   = 0          ( exp est non nulle   sur  IR ) 

                              c-à-d      x = 0    ou  ( x - 3 / 2  ) = 0    

                              c-à-d   x = 0   ou   x =  3 / 2.      Ainsi l'abscisse du second point E

                              d'ordonnée 2 est:    xE  =  3 / 2

xE  =  3 / 2
 

                               Considérons :  

                                f  ' ( x ) =  0  

                               c-à-d       ( x² - ( 3 / 2 ) x +2 x -( 3/ 2)) ex   = 0    

                                c-à-d       x² + ( 1 / 2 ) x  - ( 3/ 2)  = 0    ( exp est non nulle sur  IR )   

                                 c-à-d       2 x² +  x  - 3 = 0    

                                On sait déjà que 1 est une racine, l'autre est donc:    c / a = - 3 / 2    

                               Le second point où la tangente  est horizontale  est d'abscisse :    

                                    x  = - 3 / 2

x  = - 3 / 2

         

                                      -----------------------------------------------         

        Second travail

      1.    

   2.  Date d'achat:      31/01/09    Au cours le plus haut en 2009.

                       Date de vente :          01/09/09        Au cours le plus bas en 2009.

               3.    Le solde  est  :

     Le montant de la vente amputé du montant de l'achat et des frais.

    72.4 × 15  - 67. 05 × 15  - 7 = 73.25  €

      Au 29/04/09:

Solde : 73.25   euros de gain    
                       

               4. Cours moyen:      ( 62.8 +  .......+ 85.1 ) / 12  = 871 / 12 = 72.58  €

             Il faut prendre la moyenne arithmétique des 12 premiers cours

            qui correspondent aux 12 premiers mois.

            Le cours 87.2 € du 01/09/09  n'est pas à prendre.

    

Cours moyen:  72.58   euros     
                

                5. Cours espéré au 31/12/09 en cas de croissance linéaire.

                      Gain en une journée (   Du 31/08/09 au 01/09/09 ):

                                                  87.2 - 85.1 = 2.1 euros

                      Nombre de jours: ( sept., oct. nov. , déc. )  : 

                                 30 + 31 + 30 + 31 = 122 jours

                     Cours au 31/08/09 : 85.1  €

                     Cours espéré au 31/12/09:    

                       85.1  +  122× 2.1 = 341.3  euros   

Cours espéré:  341.3   euros     

                    6. UTILISONS LA METHODE DE MAYER .

                 

                On ne demande pas la méthode des moindres carrés.     

                          •  Premier point moyen:   G1 ( 2,5     ;    67,95  )      

                               ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) /6 =  2,5

                              ( 62,8 + ..... + 75,25 ) / 6 =   67,95

 

                         •  Second point moyen:   G2  (  8,5   ;  77,21    )                

                              ( 6 + 7 + 8 + 9 + 10 +11 ) / 6 = 8 ,5

                             ( 76,75 +................+ 85,1 ) / 6 =  77,21

                 Le coefficient directeur de la droite ( G1 G2 )   est  donc :  

                    (  77,21 -   67,95) / ( 8 ,5 - 2,5 )   ≈   1.54

                 L'ordonnée à l'origine est :   67,95 - 1.54 × 2,5    ≈   64. 08   

  Equation de la droite  d'ajustement  ( G1 G2 ):  y =1. 54 x + 64. 08