INFO FEUILLE D'EX n°2 SUITES TS1 SEPT 2013

        INFO  FEUILLE D'EXERCICE   n° 2      SUR LES SUITES            SEPT. 2013 TS

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           EXERCICE 1

                A l'aide du Th. des Gendarmes établir que la suite ( u ) définie sur IN* par

                u_n = ( n + ( - 1 )ⁿ ) / n  converge vers 1.

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        REPONSE:

             Soit n dans IN*.

            On a:       - 1 ≤  ( - 1 )ⁿ   ≤  1 

           On ajoute n à chaque membre.

          Donc :         n   - 1 ≤   n   + ( - 1 )ⁿ  ≤   n   + 1

           Or    n est dans IN*.

          On peut ainsi diviser chaque membre par n.

           D'où:         ( n - 1 ) / n  ≤  ( n + ( - 1 ) ⁿ ) / n  ≤  ( n + 1 ) / n

           c-à-d             1 -  1 / n  ≤  u_n   ≤   1 + 1 / n        pour tout n dans IN*

            Mais         lim (  1 -  1 / n )   =  lim ( 1 +  1 / n ) = 1

                             n → + ∞                     n  → + ∞

              D'après le Th. des gendarmes 

              Conclusion:    lim  u_n = 1

                                         n → + ∞

                  La suite ( u ) converge vers 1

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            EXERCICE 2

               En minorant sur IN- { 0 ; 1 } la suite ( u ) de terme général u_n = n / √( n - 1 )

              par une autre suite ( v ) trouver la limite de la suite ( u ).

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           REPONSE:

                   Soit n dans IN - { 0; 1 }.

                   On a:        0 < n - 1 < n

                   Comme la fonction racine carrée √   est strictement croissante sur 

                   l'intervalle [ 0 , + ∞ [  on a:

                              √0 < √ ( n - 1  ) < √n

                  c-à-d     0 < √( n - 1 ) < √ n

                 Donc, comme la fonction inverse est décroissante sur ] 0 , ∞ [

                                      1 / √n  ≤  1 / √ ( n - 1 )

                  On peut multiplier chaque membre par n.

                 Ainsi            n / √n   ≤   n / √ ( n - 1 )

                c-à-d            n / √n  ≤ u _n    

                c-à-d           √ n  ≤  u_n        pour tout n dans   IN- { 0 ; 1 }

                Soit              v_n  = √n

                 On a :       v_n ≤ u_n   pour tout n dans IN - { 0 ; 1 } 

                 Mais          lim  v_n   =  lim √n  = + ∞

                                   n → + ∞       n → + ∞        

               D'après un résultat de cours on en déduit:

                Conclusion :     lim u = + ∞

                                             n → + ∞

                         La suite ( u ) diverge vers  + ∞ .

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        EXERCICE 3

                Soit  u_n = ( 2 n² + 1 ) / ( n² + n ) pour tout n dans IN*.

               Montrer que la suite ( u ) converge vers 2.

               ( On pourra utiliser  la factorisation par n²  )

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             REPONSE:

                  Soit n dans IN*.

                  On a :

                Donc:

               Or           lim ( 2 + 1 / n²  ) = 2       et    lim ( 1 + 1 / n² ) = 1

                              n → + ∞                                    n → + ∞

              Donc:

              Conclusion:      lim u_n = 2

                                           n →  + ∞

                               La suite ( u ) converge vers 2.

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               EXERCICE 4

                   A l'aide d'une factorisation montrer que la suite ( u )  définie sur IN par 

                        u_n = n - √n  diverge vers + ∞.

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             REPONSE:

                 Soit n dans IN.

                  Factorisons √n

                On a :

                         u_n  = √ n   × (  √n   - 1 )        

             Or     lim √n    = + ∞      et    lim ( √n  - 1 ) = + ∞

                      n → + ∞                          n →  + ∞

           Donc    lim [ √n  ( √ n   - 1  ) ]  = + ∞

                         n → + ∞

          c-à-d

                   Conclusion:      lim u_n    =  + ∞

                                                n → + ∞

                    La suite ( u ) diverge vers + ∞   .

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               EXERCICE 5

                   Soit  u_n =  n / ( √ ( n + 1)  + √( n + 2 ) )  pour tout n dans IN.

                    Etablir que la suite ( u ) diverge vers + ∞.

                   ( On pourra factoriser par √n   quand n est dans IN* )

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             REPONSE:

           Soit n dans IN*.

            On a:

                             On peut factoriser n sous le radical √ .

                          c-à-d   en simplifiant par  √n

                          Mais           lim √n   = + ∞     et   lim √ ( 1 +  2 / n ) = √1 = 1

                                              n → + ∞                     n →+ ∞

                      Donc:

                   D'après un résultat de cours  ( 1 ) et ( 2 ) entraînent:

              Conclusion :   lim u_n = + ∞

                                          n → + ∞                                               

                            La suite ( u ) diverge vers + ∞   .

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                   EXERCICE 6

               Soit  u_n = √( n² + 1 ) - n     pour tout n dans IN.

                Montrer que la suite ( u ) converge vers  0 .

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             REPONSE:

                  Soit n dans IN*.

                  On a : u_n   = (√(n²  + 1 )  - n  ) ×  ( √( n²  + n ) + n ) / ( √ ( n ² +1 ) + n )

                    ( On dit que l'on a multiplié en haut et en bas par l'expression conjuguée

                      de   √( n² + 1 ) - n   c'est-à-dire  par  √( n² + 1  ) + n     )

                    c-à-d    u_n =  (  n² + 1 - n²  )  /(  √ ( n² + 1 ) + n  )

                   c-à-d            u_n =  1 / ( √ n² + 1 ) + n )

                   Or      √( n²  + 1) + n  ≥  n 

                   et           lim n = + ∞

                                   n → + ∞

                  Donc      lim ( √ ( n²  + 1 ) + n ) = + ∞

                                 n  → + ∞

                  Ainsi :   lim 1 / ( √n ² + 1 ) + n ) = 0

                               n → ∞ 

              Conclusion :   lim u =  0

                                         n → + ∞

                     La suite ( u ) converge vers 0.

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                 EXERCICE 7

                  Soit la suite récurrente ( u ) définie par :

                             u₀ = 1,5

                            u_{n + 1} = √( 3 u_n )     pour tout n dans IN

                    1.  A l'aide d'un Web représenter ses premiers termes sur l'axe des abscisses.

                     2.  Conjecturer son sens de variation.

                     3. Prouver la conjecture.

                    4. Quelle conjecture pouvez- vous émettre quant à son comportement en + ∞?

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              REPONSE:

         1. WEB.

                     La courbe est celle de la fonction f : x →√( 3 x ) .

                     la droite est la première bissectrice d'équation y = x

        2. On peut conjecturer que la suite (u ) est croissante car sur l'axe des abscisses

                    on voit que:      u₀ ≤ u₁ ≤ u₂ ≤ u₃               

       3. On montre cette conjecture par récurrence en montrant en

           même temps qu'elle est à termes positifs.

                 c-à-d   0 ≤  u_n ≤ u_n+1     pour tout n dans IN.

                 • n = 0

                      u₀ =  1 , 5      et    u₁ = √ ( 4,5)    

                     u₁  ≈   2,12

                 Ainsi:    0  ≤ u₀ ≤  u₁

                 La double inégalité est vraie pour n = 0

                • Soit n dans IN  quelconque.

                      Montrons que si    0 ≤  u_n  ≤ u_{n + 1}  alors   0 ≤  u_{n + 1} ≤  u_n+2 

                   Considérons:     0 ≤ u_n  ≤ u_n+1   

                     Donc                   3 × 0 ≤  3 u_n  ≤   3 u_{n + 1}

                    Or la fonction racine carrée √   est croissante sur  l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                   Donc  :        √ 0 ≤  √ ( 3 u_n  )  ≤ √ ( 3 u_{n + 1} )    

                         c-à-d       0 ≤  u_{n + 1}   ≤   u_{n + 2}

                        On a bien l'encadrement à l'ordre n + 1.

                      Conclusion : La suite ( u ) est bien croissante et positive sur IN.

      4.  Comme la suite semble "piétiner" juste avant 3 , on peut conjecturer

                 qu'elle converge vers 3.

                Remarque:  la première bissectrice coupe la courbe de la fonction f

                      en un point A qui vérifie :

                                 y_A = x_A

                                 y_A = √( 3 x_A )

                                x_A > 0

                   La résolution avec x > 0   du système   

                         y = x                                       ( 1 ) 

                         y = √( 3 x )                               ( 2 )

                       permet de trouver les coordonnées de A et surtout son abscisse 3.

                       Considérons:

                          y = x

                          x = √ ( 3 x )

                         x > 0

                  c-à-d 

                                y = x 

                                 x ^{2   =} 3 x

                                 x > 0

                 c-à-d

                                 y = x

                                 x² - 3 x = 0

                                  x > 0

                      c-à-d 

                                        y = x 

                                        x ( x - 3 ) = 0

                                        x > 0

                       c-à-d      

                                   x = 3

                                   y = 3

                    La suite ( u ) semble converger vers x_A = 3 .

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