3.COURS Résumé Suites TS sept 2012

                                        COURS Résumé        Suites                   TS sept 2012

             

          -III- AUTRES PROPRIETES ET DEFINITIONS.

           1. Limite + ∞ d'une suite.

               Soit la suite ( un  ) définie sur [[ n0 ,  + ∞ [.

               Les affirmations suivantes sont équivalentes:

                        • lim  un  = + ∞      

                           n→ + ∞

                       • La suite ( un )  diverge vers  + ∞.

                      •  lim-infinie-1.gif

                     •   Pour tout nombre réel A ( aussi grand qu'on le veut ) on peut 

                         trouver un entier n '  tel que tous les termes  de la suite, d'indices

                         supérieurs ou égaux à n ' , soient  supérieurs à A. 

                     •  Tout intervalle de la forme ] A , + ∞ [  où A est un réel quelconque, contient 

                       tous les termes de la suite ( un ) à partir d'un certain rang.

                    • Tout intervalle de la forme ] A , +  ∞ [ où A est un nombre réel quelconque,

                      contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini de termes.

           2. Exemple:

                     Soit la suite ( un ) telle que :  un = n2   pour tout n dans IN. 

                     Montrons que :          lim  n2  = + ∞      

                                                        n→ + ∞

                   Justification :

                     La suite est définie sur IN.

                     Soit A dans IR quelconque.

                     Considérons l'inégalité  n2  > A afin de rechercher n ' .

                    ( L'idée est de traduire ce que l'on veut avoir pour déceler une condition 

                     suffisante sur n. Cela revient à partir de la fin. )

                     •Si A < 0    alors  n' = 0  convient .   ( cas trivial )

                      Il est clair que  n ≥ n '  c-à-d  n ≥ 0  implique  n2  ≥ 0 > A

                     •Si A ≥ 0   alors:

                      n2  > A  s'écrit   √ (n2  ) >  √A        ( La fonction √ étant strictement croissante sur IR+• )

                      c-à-d                 | n | > √A      

                       c-à-d                  n > √A

                       Il suffit donc de considérer pour n'  un entier supérieur √A.

                          n ' = E( √A ) +1    convient 

                       (   E( √A )   est la partie entière de  √A . On peut choisir un n' plus grand que E( √A ) +1   )

                        Dès que n ≥ n'  comme n' = E( √A ) +1   et  E( √A ) +1  > √A    on a   n  > √A  donc  n > A2  

                      Illustration pour A = 5           

                               E( √5 ) + 1 = 3  convient  n '

                                       suite-carre-1.gif

                      Conclusion: le résultat est prouvé.

                  3. Résultat admis.( Directement utilisable )

                                              lim-puissance-1.gif          où k est un entier naturel non nul

                 4. limite - ∞ d'une suite.              

                     lim-infinie-2.gif  

                  5. Conséquence             

                                      lim-puissance-2.gif          où k est un entier naturel non nul

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