INFO DS n° 6 1ES-L 11février 2012

                             DS   n° 6   Samedi  11   février 2012             1ES-L  

  Nom: ..................           Prénom : ..................... Date: ........         Classe : ...................

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  • Soit la fonction f : x → ( 2 x - 3 ) / ( x + 2)  . Donner Df , Dd , f ' . Donner le sens de variation de f .

        f est une fonction rationnelle définie dans IR-{ - 2 }.

        f est donc dérivable dans IR- { - 2 }.

        Ainsi :

        Conclusion :  Df = Dd   IR-{ - 2 }.

        f = u / v    avec       u : x  →  2 x - 3     et   v  →  x + 2

        Les deux u et v sont définies et dérivables dans IR et v est non nulle dans IR-{ - 2 }

        On a   u : x →  2       v ' : x → 1

              f ' = ( u / v )' = (  v u ' - u v ' ) / v       

        Soit x dans IR - { - 2 }

        f '( x ) = [  ( x + 2 ) × 2 - ( 2x - 3 )  × 1  ] / ( x + 2 )2     

     c-à-d   

        f '( x ) = [   2x + 4  -  2 x + 3 × 1  ] / ( x + 2 )2   

    c-à-d 

         f '( x ) = 7 / ( x + 2 )2       

        Donc:

           Conclusion : f '  : x  →  7 / ( x + 2 )2

        On a :   7 / ( x + 2 )2   > 0   pour tout x dans IR - { - 2 } 

           Conclusion : f  est strictement croissante  IR - { - 2 }   

  • Soit la fonction g : x → x2   /  ( 2 x + 1 )  Donner Dg , Dd , g '  . Donner le sens de variation de g .             

          g est une fonction rationnelle définie dans IR-{ - 1 / 2 }.

          g est donc dérivable dans IR- { - 1 / 2 }.

          Ainsi :  

          Conclusion :     Dg = Dd IR - { - 1/ 2 }

      On a :   g = u / v        avec  u : x → x2            v :   x → 2 x+ 1

       les fonctions u et v sont definies et dérivables dans  IR - { -1/2 } et

         v y est non nulle .

            g ' = ( u / v )' = (  v u ' - u v ' ) / v

           avec    u ' :    x   → 2 x     et      v ' :  x → 2

            Soit x dans IR - { -1 /2 }

                     g ' ( x ) =[ ( 2x+1 )×2 x - x2  ×2 ] /  ( 2x+1 )2      

            c-à_d 

                   g '( x ) = ( 4 x2  + 2 x - 2 x2   ) / ( 2x+1 )2

            c-à-d    

                   g '( x ) = ( 2 x2 + 2 x  ) / ( 2x+1 )2                  

           c-à-d    en factorisant  2 x au numérateur

                   g' ( x ) =   2 x ( x+1 ) / ( 2x+1 )2                 

                 Conclusion :  g' : x →   2 x ( x+1 )( 2x+1 )2     dans   IR - {- 1 /2 }

                Ainsi g'( x )  dans  IR - { -1 /2 }  est du signe de x ( x + 1 ) 

                   qui s'annule en x = o et en x = - 1.

                   Ainsi:

x- ∞   -1     - 1 / 2     0      +     
g '( x )    +   0    -    ||    -  0    +
  g(x)    ↑   -1    ↓   ||   ↓    0     

                 Ainsi:

  • Soit la fonction h : x → 3x2  - 6 x + 1  Donner Dh , Dd , h '  . Donner le sens de variation de h .

                  h est une fonction trinôme du second degré. 

                  h : x → ax2 +b x + c        avec     a = 3       b = - 6        c = 1

                  Rien qu'en voyant a > 0  on sait comment la parabole est disposée.

                  On a directement :

              Conclusion :      Dh = Dd =  IR          h '   : x→ 6 x - 6   

                   Soit x dans IR.

                     h '( x ) = 6 ( x - 1 )

                     Donc h'( x ) est du signe de x - 1 pour tout x dans IR.

x  -∞                 1                   +          
h '( x )          -           0          +
h( x )         ↓          - 2             ↓  

  Soit la fonction k : x → 1/( x2+ x + 1 ) . Donner Dk , Dd , k '  . Donner le sens de variation de k .

              Le discriminant   de    x2+ x + 1  est   Δ = - 3   Donc   Δ  < 0

              Ainsi    x2+ x + 1 ≠ 0   pour tout x dans IR

             Donc   .

               Dk = Dd  = IR    

           Soit  la fonction      v : x  →  x2+ x + 1

                v est définie , dérivable et non nulle dans IR.

               k = 1 / v

              Donc   k est dérivable dans IR et l'on a 

                      k  ' = ( 1 / v ) ' = - v ' / v

             Ici   v ' : x  → 2 x+ 1

                             D'où     k ' : x  → - ( 2x + 1) / ( x2+ x + 1)2

           k ' ( x )  est du signe de - ( 2x+ 1 )  pour tout réel x.             

x-∞      - 1 / 2       +
k ' ( x )    +       0     -
k( x)     ↑     4/3     ↓

   • Soit la fonction m : x→ ( 2 x + 1 ) / x2      Donner D , D , m '  . Donner le sens de variation de m .md    

                             m est une fonction rationnelle définie dans IR*  .

                                                          Donc m est dérivable dans IR*.

                       D = Dm d  =   IR*

                                       On constate que  m( x ) = 2 ×( 1 / x ) + ( 1 / x2  )  avec x ≠ 0

              Donc    m '( x ) = 2 ×( - 1/ x2  ) + ( - 2 / x3 )

             c-à-d     m '( x ) = - 2 [  (  1/ x2 ) + ( 1 / x3 ) ]= - 2 [  ( x + 1 ) / x3   ]

                               m ' : x → - 2 [ ( x+ 1 ) / x ]  

            Ainsi m '( x ) est du signe de - ( x + 1 ) / x    pour tout x dans IR*.

                             c-à-d   m '( x ) est du sigen de - x ( x + 1 ) pour tout x dans IR*

x-∞    - 1         0      +  
m '( x )     -    0   +   ||    -
m(x )     ↓   -1   ↑    ||   ↓

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