INFO EX 1 DS4 1S 20 Déc 08

INFO   EX1     DS  n°4     20/12/08               1S1     2 heures 

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         EX.1    Soit la fonction f : x→ ( x² +- x + 1 ) / x

                     Soit  ( C ) sa courbe  dans un repère orthonormal du plan.

                 1. Comparons la fonction  f avec la fonction  g : x → x - 1  +  1 / x  .

                    • Les fonctions  f et g ont le même domaine de définition IR .

                    • Soit x dans  IR•   .

                       On a :   f( x ) = x² / x    +   x / x    +   1 / x 

                    c-à-d        f( x) = x - 1 +  1 / x

                    c-à-d       f( x) = g(x)

              Conclusion :      f = g  sur  IR•   .

                   2. a. Montrons que  f ' ( x ) = ( x² - 1 ) / x² pour tout x dans IR.

                   On a :    f  = u + v   avec    u : x  → x - 1    et  v : x  → 1 / x  .

                   Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR.

                   Donc u + v , c-à-d  f  , est dérivable dans IR.

                   f ' = u ' + v ' 

                  Comme  u ' :  x  →  1     et     v ' : x  →  - 1  / x²

                   f ' : x  →  1  -  1 / x²

                   f ' : x  → (  x²  -  1)  / x²

                    Conclusion :       Pour tout  x dans IR

                                             on a :    f '( x ) =  ( x² - 1 ) / x²

                  b. Donnons le signe de f '( x ) suivant x dans IR.

                       Pour tout x dans  IR•  ,  f '( x) est du signe de x² - 1.

                      Mais   x ² - 1  est un trinome du second degré qui s'annule pour x = -1

                      ou  x = 1 .  Le coefficient de x² est a = 1 . 

                      1 est positif.

                      Donc d'après la règle:

                        x² - 1 < 0     ssi      - 1 < x < 1

                        x² - 1 >  0    ssi      x < - 1    ou   x > 1

                    Conclusion:    f '( x ) = 0    ssi   x = - 1   ou   x = 1

                                          f '( x ) > 0    ssi      x < - 1    ou   x > 1

                                          f '( x ) < 0      ssi    x  est dans   ] - 1 , 0 [  U  ] 0 , 1 [   

                 3. Donnons le sens de variation de f.

                     D'après le signe trouvé pour f '( x ) on peut dire:

                    Conclusion:   f est strictement croissante sur les intervalles

                                            ] - ∞ , - 1 ]  et   [ 1 , +  ∞ [.

                                         f est strictement décroissante sur les intervalles

                                           [ - 1 , 0[  et   ] 0  ,1 ] .

                       Tableau de variation de f :                               

x ∞                    - 1                     0                     1                               +  ∞   
f '( x)          +                0          -          ¦¦        -           0            +          
f(x )          ↑               - 3          ↓         ¦¦        ↓          1            ↑              

                        4. Donnons l'équation réduite de la tangente Δ à la courbe ( C ) au point

                           d'abscisse 1 .

                            Au point d'bscisse   x = 1  la tangente Δ à (  C )  est horizontale car  f '( 1 ) = 0.

                           f( 1 ) = 1

                         Conclusion:  La tangente Δ  à la courbe ( C ) de  f est d'équation y = 1.

                          5. Montrons que :   lim ( f( x) - ( x - 1 ) = 0

                                                        x → + ∞

                            Soit x > 0 .

                           On a :  f( x ) = x - 1 +  1 / x

                         c-à-d        f( x ) - ( x - 1 ) = 1 / x

                                  Or    lim  1 / x  = 0

                                         x → + ∞

                          D'où  :     

                          Conclusion:   lim ( f( x) - ( x - 1 ) = 0

                                                        x → + ∞

                          Conséquence :   La droite d'équation  y = x - 1  est une asymptote  à la courbe ( C )

                                                    en  +  ∞ .

                       6. C'est la courbe n°1  qui est la courbe de la  f .

                      7. Faisons le tableau de variation de la fonction φ.                          

x -  ∞              - 1                      0                     1                       +   ∞   
φ '( x)           -            0          +         ¦¦         +         0                 -
φ( x )               ↓        3           ↑         ¦¦          ↑         -1               ↓         

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