INFO EX1 DS n°4 20/12/08 1S1 2 heures
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EX.1 Soit la fonction f : x→ ( x² +- x + 1 ) / x
Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthonormal du plan.
1. Comparons la fonction f avec la fonction g : x → x - 1 + 1 / x .
• Les fonctions f et g ont le même domaine de définition IR• .
• Soit x dans IR• .
On a : f( x ) = x² / x + x / x + 1 / x
c-à-d f( x) = x - 1 + 1 / x
c-à-d f( x) = g(x)
Conclusion : f = g sur IR• .
2. a. Montrons que f ' ( x ) = ( x² - 1 ) / x² pour tout x dans IR• .
On a : f = u + v avec u : x → x - 1 et v : x → 1 / x .
Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR• .
Donc u + v , c-à-d f , est dérivable dans IR• .
f ' = u ' + v '
Comme u ' : x → 1 et v ' : x → - 1 / x²
f ' : x → 1 - 1 / x²
f ' : x → ( x² - 1) / x²
Conclusion : Pour tout x dans IR•
on a : f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²
b. Donnons le signe de f '( x ) suivant x dans IR• .
Pour tout x dans IR• , f '( x) est du signe de x² - 1.
Mais x ² - 1 est un trinome du second degré qui s'annule pour x = -1
ou x = 1 . Le coefficient de x² est a = 1 .
1 est positif.
Donc d'après la règle:
x² - 1 < 0 ssi - 1 < x < 1
x² - 1 > 0 ssi x < - 1 ou x > 1
Conclusion: f '( x ) = 0 ssi x = - 1 ou x = 1
f '( x ) > 0 ssi x < - 1 ou x > 1
f '( x ) < 0 ssi x est dans ] - 1 , 0 [ U ] 0 , 1 [
3. Donnons le sens de variation de f.
D'après le signe trouvé pour f '( x ) on peut dire:
Conclusion: f est strictement croissante sur les intervalles
] - ∞ , - 1 ] et [ 1 , + ∞ [.
f est strictement décroissante sur les intervalles
[ - 1 , 0[ et ] 0 ,1 ] .
Tableau de variation de f :
x | - ∞ - 1 0 1 + ∞ |
f '( x) | + 0 - ¦¦ - 0 + |
f(x ) | ↑ - 3 ↓ ¦¦ ↓ 1 ↑ |
4. Donnons l'équation réduite de la tangente Δ à la courbe ( C ) au point
d'abscisse 1 .
Au point d'bscisse x = 1 la tangente Δ à ( C ) est horizontale car f '( 1 ) = 0.
f( 1 ) = 1
Conclusion: La tangente Δ à la courbe ( C ) de f est d'équation y = 1.
5. Montrons que : lim ( f( x) - ( x - 1 ) = 0
x → + ∞
Soit x > 0 .
On a : f( x ) = x - 1 + 1 / x
c-à-d f( x ) - ( x - 1 ) = 1 / x
Or lim 1 / x = 0
x → + ∞
D'où :
Conclusion: lim ( f( x) - ( x - 1 ) = 0
x → + ∞ Conséquence : La droite d'équation y = x - 1 est une asymptote à la courbe ( C ) en + ∞ .
6. C'est la courbe n°1 qui est la courbe de la f .
7. Faisons le tableau de variation de la fonction φ.
x
- ∞ - 1 0 1 + ∞
φ '( x)
- 0 + ¦¦ + 0 -
φ( x )
↓ 3 ↑ ¦¦ ↑ -1 ↓
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