INFOEX1 Partie B BAC S JUIN 10

                                                           INFO  EX 1    BAC S        22   JUIN   2010 

                EXERCICE 1

                       Partie B

    Soit k un réel donné.  On considère la fonction fk  définie sur IR d'expression:  

    1. Montrons que  fk admet un maximum  en  x = 1 - k.

                                                       fk ( x ) = ( x + k ) e- x

                 fk  est un produit de fonctions définies et dérivables dans IR:   x→ x+ k     et      x→ e - x .

      Soit x dans IR.    On a :

                    fk ' ( x ) = ( x + k )( - e- x  ) + 1 e- x

                 c-à-d   en factorisant  e- x

     fk ' ( x ) = ( 1 - k - x ) e- x    

              La fonction exp est strictement positive sur IR. 

    Il est clair que   fk ' ( x )  est du signe  de  1 - k - x et s'annule seulement quand  1 - k - x = 0.

            Or :       1 - k - x = 0    ssi   x = 1 - k

       1 - k - x > 0    ssi    x < 1 - k

       1 - k - x <  0    ssi    x > 1 - k     

                     Donc :                   fk ' ( x ) = 0   ssi   x = 1 - k 

      fk ' ( x ) > 0  ssi   x < 1 - k       fk ' ( x ) < 0  ssi   x > 1 - k 

                     Conclusion:     fk est décroissante sur  l'intervalle [ 1 - k , +   ∞[

                                           fk est croissante sur  l'intervalle    ] - ∞  , 1 - k ] 

                                               Elle a bien un maximum en x = 1 - k 

              2. Montrons que le point Mk  ( 1 - k ; fk ( 1 - k )   ) appartient à la courbe d'équation y = e- x .

                    En effet:      fk ( 1 - k ) = ( 1 - k + k ) e- (1 - k )  

                       c-à-d      fk ( 1 - k ) = e- (1 - k )

                        Les coordonnées du point   Mk   vérifient  l'égalité  y = e- x .

                           Conclusion: Oui .   Mk   est sur Γ.

                  3.  a. Reconnaissance des courbes de l'annexe1. 

                                                          

                                      En bleu la courbe  Γ  d'équation y = e - x  .

                                         En rouge la courbe de la fonction fk   pour k = 2 .     

                              b. Donnons la valeur de k pour la courbe bleue.

                                    La courbe bleue passe par le point de coordonnées ( 0 ; 2 ).

                                    Or       fk ( 0 ) = ( 0 + k ) e- 0   = k

                                               fk ( 0 ) = 2    se traduit par    k = 2   .

                                        2 cm pour 1  sur les axes.

                                 4. Calculons l'intégrale: 

                                                                          

                                         Notons J cette intégrale.

                                                   

                                          Soit  u( x ) = x + 2     et    v( x ) = - e- x   

                                      Les fonctions u et v sont définies et dérivables sur l'intervalle   [ 0 , 2 ] .    

                                       On a :      u'( x ) = 1   et   v ' ( x ) =   e- x   

                                      Les fonctions u' et v ' sont définies et continues  sur l'intervalle   [ 0 , 2 ] .    

                                       L'intégrale J existe et on peut faire une intégration par parties.

                                                                    

                               c-à-d              J   =  - 4  e- 2  + 2  -  [  e- x   ] 02  

                               c-à-d                J   =  - 4  e- 2  + 2  -  e- 2   + 1

                                c-à-d                   J    = 3  - 5 e- 2 

                                   

                           Conclusion:    J =  3 -  5 e- 2                                

                         C'est en u.a l'aire du domaine sous la courbe de  f2  

                                      sur l'intervalle [ 0 , 2 ] .     

                        

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