INFO EX 3 SUITES ADJACENTES

              INFO  EXERCICE SUR LES SUITES ADJACENTES         TS        Mars 2011

------------------------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE 3 

                Soit les deux suites ( u ) et ( v ) interdépendantes suivantes

                définies sur IN:

                      u0 = 1                                                    v0  = 2

                      un+1  = ( 3 un  + v  ) / 4                   vn+1  = ( 3 vn  +  u  ) / 4

            1. Donner la nature de la suite  ( v-   un  ).

                 En déduire sa limite.

           2. Montrer que la suite  ( v-   un ) est à termes positifs.

           3. En déduire les sens de variations des suites ( u )  et ( v ).

              Sont-elles adjacentes?

          4. Les suites ( u ) et ( v ) convergent- elles?

          5. Soit la suite ( t ) definie sur IN par  tn =  vn  +   un  

             Montrer que la suite ( t ) est constante sur IN.

            En déduire les limites des suites  ( u )  et ( v ).

--------------------------------------------------------------------------------------

       Réponse:

                1. Nature de la suite ( v - u ).

                   On a :                          vn+1  -   un+1  =     ( 3 vn  +  u  ) / 4    - ( 3 un  + v  ) / 4                

                  c-à-d       vn+1  -   un+1  =    (  2   vn     -  2 un   ) / 4  

                   c-à-d                  vn+1  -   un+ 1    =  ( 1 / 2 ) (   vn     -  un  )

        Conclusion : La suite ( v - u ) est une suite géométrique de raison 1 / 2 .

                 Son premier terme est :   v0    -  u0    = 2 - 1 = 1

                Son terme général est :     vn     -  un   =   1  ( 1 / 2 )n

               Comme      0  < 1 / 2  < 1   on a  :    lim ( 1 / 2 )n    = 0

                                                                            n → + ∞

                Conclusion :   lim (  vn     -  un   )   = 0

                                                  n → + ∞

              2. Montrons que la suite (   vn     -  un  ) est positive sur IN.

                 Comme     vn     -  un   =   ( 1 / 2 )n     pour tout n dans IN

                   et            ( 1 / 2 )n   ≥ 0    pour tout n dans IN

                   on a :  

                     Conclusion :    vn     -  un     ≥ 0    pour tout n dans IN.

            3. Donnons le sens de variation des suites  ( u ) et ( v ).

              •   Pour la suite ( u ).

                  On a :         un+1   -  un  = ( 3 un  + v  ) / 4    - un   

                 c-à-d           par réduction au même dénominateur

                                     un+1   -  un  =   ( 3 un  + v  -  4 u) / 4  

                 c-à-d           un+1   -  un  =   (  vn   -   un ) / 4

                Or                 vn     -  un     ≥ 0    pour tout n dans IN.

               Donc               un+1   -  un   ≥ 0    pour tout n dans IN.

              Conclusion:    La suite ( u ) est croissante sur IN.

                •  Pour la suite ( v ) .

                 On a :     vn+1   -  vn  =   ( 3 vn  +  u  ) / 4    -  vn

                 c-à-d    par réduction au même dénominateur

                                vn+1   -  vn  =   ( 3 vn  -  4 vn+  u  ) / 4            

                   c-à-d  

                                 vn+1   -  vn  =   (  -  vn+  u  ) / 4   

                 c-à-d   

                                 vn+1   -  vn  =  - (    v - u  ) / 4 

                 Mais              v - un   ≥ 0                   pour tout n dans IN.

                  Donc         - (    v - u  ) / 4   ≤   0        pour tout n dans IN

                  c-à-d          vn+1   -  vn     ≤   0            pour tout n dans IN

                  Conclusion : La suite ( v ) est décroissante sur IN.

           •  Regardons si les suites ( u ) et ( v ) sont adjacentes.

                  On a : 

                     • • La suite ( u ) est croissante . 

                     • •  La suite ( v ) est décroissante .

                     •  •   lim (  v -   un  ) = 0    

                              n → + ∞  

                Donc d'après la définition du cours:

         Conclusion :   Les deux suites ( u )  et  ( v ) sont adjacentes.      

       4. Regardons si les deux suites ( u ) et ( v ) sont convergentes.

            On sait que les deux suites  ( u )  et  ( v ) sont adjacentes.

            Donc d'après le cours:

          Conclusion :  Elles sont  convergentes et ont la même limite finie L.

       5. Montrons que la suite ( t ) est constante sur IN.

              On a :  tn =  vn  +   un     pour tout n dans IN .

            Donc     tn+ 1 = vn+ 1   +   un + 1 

             Ainsi     tn+ 1 =  ( 3  un  + v  ) / 4    +   ( 3   vn   +   un     ) / 4     

            c-à-d       tn+ 1 =  (   4  un  + 4 v   ) / 4 

            c-à-d       tn+ 1 =    un  +  v  =  tn         

           Donc    tn+ 1 =  tn      pour tout n dans IN.

           Ainsi:

                       Conclusion : La suite ( t ) est bien constante.

             On a:          t0 =  v0  +   u0 

              D'où          t0 =  2 + 1 = 3  

            Ainsi            tn     =  3     pour tout n dans IN.

             • Trouvons  le réel  L , limite commune des suite ( u ) et ( v ).

                lim     tn          =    lim  ( un  +  v  ) =   L + L

                n → + ∞                  n → + ∞  

                   Ainsi :      3     =   2 L

           Donc           L = 3 / 2

          Conclusion : Les suites ( u) et ( v ) convergent vers 3/ 2  

 ------------------------------------------------------------------------------------