INFO 2 EX.BARYC. 2

LISTE 2  D' EXERCICES SUR LES BARYCENTRES      OCT 2008     1S

   


  EX. 3          Soit le point  B'  tel que:  vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) .  

                    Soit le point  A' tel que :  vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ).

                       1. Ecrire A' comme barycentre des points pondérés B et C pour des coefficients à préciser.

                       2. Ecrire B' comme barycentre des points pondérés A et C pour des coefficients à préciser.

                       3 . Soit G le barycentre des points pondérés  ( A , 2 ) ( B , 3 ) et ( C , 6 ).

                          Montrer que le point G est le point d'intersection des droites ( A A' ) et  ( B B' ). 

 


    REP.  EX 3          1.     On a:      vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC )  

                                    c-à-d    3 vect( BA' ) =  2 vect(BC )  

                                       c-à-d        3 vect( BA' ) =  2 vect(BA' ) + 2 vect (A'C )  

                                     c-à-d      vect( BA' ) = 2 vect (A'C )   

                                      c-à-d      - vect( BA' ) + 2 vect (A'C )  est le vecteur nul.

                                      c-à-d       vect( A'B ) + 2 vect (A'C )  est le vecteur nul.    

                                  Comme 1 + 2  ≠ 0  on a :    

A' est le barycentrre des points pondérés ( B , 1 )  et ( C , 2 )                ( 1 )

                           2.       On a:     vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC )   est traduit par :

                            c-à-d      4 vect( AB' ) =  3 vect( AC )  est le vecteur nul.

                            c-à-d        - 4 vect( AB' ) + 3 vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.

                            c-à-d        - vect( AB' )  + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.

                            c-à-d         vect( B'A )  + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul. 

                    Comme 1+ 3 ≠ 0   on a: 

B' est le barycentre des points pondérés ( A ,1 ) , ( C , 3 ).           ( 2 )
                     3. Montrons que le point G , barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ,( B , 3 )
 

                         et ( C , 6 ) , qui existe car 2 + 3 + 6 ≠ 0 , est sur les droites (AA' ) et ( BB' ). 

                  •  A' est aussi le barycentre des points pondérés 

                        ( B , 3 ) et ( C , 6 ) d'après ( 1 ).

                        Donc G est le barycentre des  points pondérés ( A , 2 ) et ( A' , 9 ) .

                        Ainsi G , A , A' sont alignés. 

                •  B' est aussi le barycentre des points pondérés

                          ( A , 2 ) et ( C , 6 )  d'après ( 2 ).

                          Donc G est le barycentre des  points pondérés

                        ( B , 3 )  et ( B' , 8 ) .

                    Ainsi G , B , B' sont alignés.

      Conclusion:

 Les droites ( AA' ) et ( BB' ) sont sécantes en G.