LISTE 2 D' EXERCICES SUR LES BARYCENTRES OCT 2008 1S
EX. 3 Soit le point B' tel que: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) . Soit le point A' tel que : vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ).
1. Ecrire A' comme barycentre des points pondérés B et C pour des coefficients à préciser. 2. Ecrire B' comme barycentre des points pondérés A et C pour des coefficients à préciser. 3 . Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ( B , 3 ) et ( C , 6 ). Montrer que le point G est le point d'intersection des droites ( A A' ) et ( B B' ).
REP. EX 3 1. On a: vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ) c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BC )
c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BA' ) + 2 vect (A'C ) c-à-d vect( BA' ) = 2 vect (A'C ) c-à-d - vect( BA' ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul. c-à-d vect( A'B ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul. Comme 1 + 2 ≠ 0 on a :
2. On a: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) est traduit par : c-à-d 4 vect( AB' ) = 3 vect( AC ) est le vecteur nul. c-à-d - 4 vect( AB' ) + 3 vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul. c-à-d - vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul. c-à-d vect( B'A ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul. Comme 1+ 3 ≠ 0 on a:
et ( C , 6 ) , qui existe car 2 + 3 + 6 ≠ 0 , est sur les droites (AA' ) et ( BB' ). • A' est aussi le barycentre des points pondérés ( B , 3 ) et ( C , 6 ) d'après ( 1 ). Donc G est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( A' , 9 ) . Ainsi G , A , A' sont alignés. • B' est aussi le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( C , 6 ) d'après ( 2 ). Donc G est le barycentre des points pondérés ( B , 3 ) et ( B' , 8 ) . Ainsi G , B , B' sont alignés. Conclusion:
A' est le barycentrre des points pondérés ( B , 1 ) et ( C , 2 ) ( 1 )
3. Montrons que le point G , barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ,( B , 3 )
B' est le barycentre des points pondérés ( A ,1 ) , ( C , 3 ). ( 2 )
Les droites ( AA' ) et ( BB' ) sont sécantes en G.