INFO EX 5 Feuille 2 suites TS

                      INFO     EXERCICE 5     FEUILLE 2      TS    SEPT 2012

         EXERCICE 5            

      Soit :

                          suite-de-sommes-partielles.gif

            ( On constate aussitôt que la suite ( un ) est croissante sur IN*

              car  1 / ( n+1 ) ,  que l'on ajoute à  un  pour avoir un + 1  ,  est positif.

              Donc so sens de variation sera considéré comme connu.)

            On veut savoir si la suite (un  ) converge.

             1. Pour cela montrer que:

                       u2 n   -  un  ≥ 1 / 2     pour tout n dans IN

                Si la suite convergeait vers un nombre réel L, quelle inégalité

                obtiendrait-on?

                En déduire qu'elle diverge.

              2. Est-elle majorée?

                 Justifier en invoquant le sens de variation de la suite , sa limite. 

                 ( On pourra utiliser un résultat de cours qui peut faire l'objet d'un R.O.C

                     << Toute suite croissante non majorée diverge vers + ∞  >>

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  REPONSE:

        1. Montrons que:

                       u2 n   -  un  ≥ 1 / 2     pour tout n dans IN*

         Soit n dans IN*.

              On a :

                        suite78.gif

        Par différence membre à membre il vient :

                             u2 n   -  un = 1 /( n + 1 ) + .......+ 1 / 2n

             Par exemple:     

              Pour n = 1              u2    -  u1     = 1 /( 1 + 1 ) 

              Pour n = 2              u4    -  u2     = 1 /( 2 + 1 ) + 1 / ( 2 + 2 )

              Pour n = 3              u6    -  u3     = 1 /( 3 + 1 ) + 1 / ( 3 + 2 )  + 1 / ( 3 + 3 )

             Tous les quotients positifs de cette somme sont supérieurs ou égaux à 1/ 2n

              car    n + n est le plus grand des dénominateurs.

                En effet:     0 < n + 1 ≤  ..... ≤   ..... ≤   2n    pour tout n dans IN*

             Par exemple:

                Pour n = 2       0 <  2 + 1 ≤   2 + 2

                Pour  n = 3      0 < 3 + 1  ≤  3 + 2  ≤  3 + 3

                Ainsi de suite.

                          Donc  

                               1 / ( n + 1 )  ≥  ....... ≥ ..... ≥  1 / 2n 

               Or la somme contient n termes:

               Donc         1 /( n + 1 ) + ....... + 1 / 2n   ≥ n / ( 2n ) 

               c-à-d         1 /( n + 1 ) + ....... + 1 / 2n    ≥ 1 / 2

              c-à-d       u2 n   -  un    ≥ 1 / 2     pour tout n dans IN*

                                Conclusion : L'inégalité est prouvée IN*

            Si la suite convergeait vers un réel L 

                           on aurait     lim (  u2 n   -  un  ) = L - L = 0

                                              n → + ∞

             Mais comme  u2 n   -  un    ≥ 1 / 2     pour tout n dans IN*

                    on aurait        0 ≥ 1 / 2  Impossible

            Conclusion :   La suite ( un ) ne peut pas converger. Elle diverge.

          2. •Regardons si elle est majorée.

               Si la suite était majorée , comme elle est croissante sur IN* , elle convergerait.

                Donc

                Conclusion : la suite ( un ) n'est pas majorée.

              •Justifions sa limite + ∞

                  La suite est croissante et non majorée sur IN*.

                 Donc

                 Conclusion : La suite diverge vers + ∞