INFO EX 3 DS 10 1S MAI 09

  INFO   EX 3            DS n° 10    1S      23 MAI 2009

       EXERCICE 3

           le plan est muni d'une repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j )  ).

                ( Unité graphique : 2 cm )

         Soit la suite ( u ) définie sur IN par:

                     u0   = 2

                    un + 1 = ( 1 / 2 ) un  + ( 1 / 2 )  pour tout n dans IN.

         Soit   wn = un  - 1   pour tout n dans IN.

            1. Calculer u1    ,  u2    .

            2. Montrer que  wn + 1  =  ( 1 /2 )  wn      pour tout n dans IN .

                Donner   w0  .

            3. Donner le terme général de la suite ( w ) puis le terme général

                de la suite ( u ) en fonction de n.

            4. Les suites ( w ) et ( u ) convergent-elles. ( On donnera les limites éventuelles.)

            5. Tracer les droites D: y =x et  D' : y = ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 ) .

            6. Placer sur l'axe des abscisses   u0   , puis , à l'aide d'un web placer

                u1   ,  u2   ,  u3      sur l'axe des abscisses.

           7. Que pouvez-vous conjecturer quant au sens de variation de la suite ( u ) ?

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Réponse:

          1. Calculons  u1  , u2 .

                  On sait que  u0   = 2 .

                 Pour tout n dans IN , on a :      un + 1  = (  1/ 2 )  un   + ( 1 / 2 )

               •   Pour  n= 0 on obtient :     u0 + 1  =  ( 1 / 2 ) u0   + ( 1 / 2 ) =  ( 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 2 )

                c-à-d      u1  =   1 + ( 1 / 2 ) = 3 / 2

                     Conclusion:  u1  =  3 / 2       

            •  De même : 

              Pour n  = 1 on obtient :          u1 + 1  = (  1/ 2 )  u1   + ( 1 / 2 )

                  c-à-d         u2  = (  1/ 2 ) ( 3 / 2 )  + ( 1 / 2 )  = 3 / 4 + 1 / 2  =  5 / 4

                 Conclusion :     u2  =  5 / 4                 

       2.   Montrons que la suite ( w ) est géométrique de raison 1/ 2.

                Soit n dans IN quelconque.

                   On a :

                wn + 1  = un + 1  - 1

                   Or   un + 1  = (  1/ 2 )  un   + ( 1 / 2 ) 

             D'où     wn + 1  = (  1/ 2 )  un   + ( 1 / 2 )    - 1

             c-à-d       wn + 1  =  (  1/ 2 )   un   -  ( 1 / 2 )  

             c-à-d      wn + 1  = (  1/ 2 )  (  un   -  1    ) 

                  Or    un   -  1  = wn  

            Donc        wn + 1 =  (  1/ 2 )  wn       pour tout n dans IN.

           Conclusion:   wn + 1 =  (  1/ 2 )  wn       pour tout n dans IN.

         Donnons  w0  .

              w0  = u0   -  1 

           c-à-d     w0  = 2  -  1  = 1

             Conclusion :    w0 = 1

         3. Donnons les termes  généraux des suites ( u ) et ( v ).

            La suite ( w ) est géométrique de raison 1 / 2 différente de 0.   

           On a :   wn  =   w0   qn      avec   w0  = 1   et  q = 1 / 2

           Ainsi :   

           Conclusion:  wn  = ( 1 /  2)n      pour tout n dans IN.

              Comme  un   -  1  = wn       on a       un   =   1  +  wn  

         Conclusion:   un   =   1 +  ( 1 / 2 )n     pour tout n dans IN.

              4. Regardons si les suites ( u ) et ( w ) convergent.

                  Comme 0 < 1 / 2 < 1  on a         lim  ( 1 / 2 )n   = 0

                                                                                         n → + ∞

             Conclusion:   lim  wn    = 0

                                               n → + ∞

                La suite ( w ) converge vers 0.            

                Ainsi         lim  ( 1 + wn   )  = 1

                                         n → + ∞

              Comme   un   =   1  +  wn  

                   On en déduit que :

                 lim   un     = 1

                      n → + ∞

               Conclusion:   lim  un    = 1

                                               n → + ∞

                La suite ( u ) converge vers 1.   

 

         5. Traçons les droites  D: y = x  et  D' : y =  ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 ).

                            

         6. Plaçons u0   ,  u1  , u2  ,  u3  sur l'axe des abscisses.

                      

 

         7. Conjecturons le sens de variation de la suite ( u ).

             Comme il apparaît que   u0   >  u1  >  u2   > u3    on conjecture que

              la suite ( u ) est décroissante.

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