INFO LISTE 5 EX DERIV 1S

  DV n°5       13 DECEMBRE 08     1S1     LISTE 5 D'EX SUR LA DERIVATION         

 


 

   EX.3                 Soit la fonction   f: x → cos ( 5 x + 2 )  définie dans IR.

                1. Trouver  sur IR la fonction dérivée f 'de f.

                2. Montrer que  f ( x +  (2π) / 5 ) = f( x ) pour tout x dans IR.

                  (   On pourra utiliser le résultat cité dans l'exercice précédent.

                      On a admis que   cos ' = - sin    sur IR .  )


    REP .    1. La fonction cos est définie et dérivable dans IR.

                     { x dans IR /  5 x + 2 soit dans IR }  = IR

                     Ainsi la fonction f est définie et dérivable dans IR.

                    De plus :    f ' : x → 5 cos ' ( 5 x + 2 )

                 c-à-d     f ' : x → 5 ( - sin ( 5 x + 2 ) )   sachant  cos ' = - sin    sur IR .

                   Conclusion:    Df  = IR      Dd  = IR

                                         f ' : x → - 5  sin ( 5 x + 2 )    sur IR.

                2. Soit x dans IR .

                      f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5 ( x + ( 2 π ) / 5 ) + 2 )

    c-à-d           f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5  x +  2 π  + 2 ) 

  c-à-d           f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5  x +  2 + 2 π  )         ( 1 )

                 Mais        cos( X +  2 π ) = cos ( X )   pour tout X dans IR. 

                          ( La fonction cos étant périodique de période  2 π .)

   Ainsi        cos ( 5  x +  2 + 2 π  ) = cos ( 5  x +  2  ) = f( x )

        D'où  (  1 ) s'écrit :   

         Conclusion :             f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = f ( x )   pour tout x dans IR.

               La fonction f , définie sur IR , est péroidique de période   ( 2 π ) / 5  . 

         (   De façon systématique  la fonction   g : x → cos ( ω x + φ ) 

               est périodique de période   ( 2 π ) / ω        )   


    EX. 5                  Soit  la fonction  f  : x →  ( x + 1 ) / ( x² + x + 1 )  définie sur IR.

                1. Montrer que f  est définie et dérivable dans IR et que la

                    fonction dérivée  f ' de f est :  f ' : x → - x ( x + 2 ) / ( x² + x + 1 ) ² .

                2. Donner le sens de variation de f .

                3. Soit ( C ) la courbe de f dans une repère orthonormal du plan.

                    Donner les équations des tangentes à ( C ) aux points d'abscisses - 2 et  0.


    REP.      1.  Remarquons d'abord que  x² + x + 1 ≠ 0   pour tout x dans IR.

                     En effet :   Δ = b² - 4 ac      

                   c-à-d       Δ  = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3    

                     Donc :      Δ < 0

                     Ainsi il n'y a pas de racine dans IR pour x² + x + 1 .

                    Soit les fonctions :        u : x →   x + 1

                                                         v : x →  x² + x + 1

                  Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR.

                  La fonction v est non nulle dans IR.

                  f = u / v

                  Ainsi la fonction u / v   ,  c-à-d   f  , est définie et dérivable dans IR.

                 On a :  f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                On a :    u : x →  1   et   v ' : x →   2 x + 1

               Soit x dans IR.

              On a: 

               f '( x ) =  (  ( x² + x + 1 ) 1 - ( x + 1 ) ( 2 x + 1 )  ) / ( x² + x + 1 )²

 c-à-d      f '( x ) =  (   x² + x + 1  - (  2 x² + 3 x + 1  )  ) / ( x² + x + 1 )²

 c-à-d     f '( x ) =  (  ( x² + x + 1 -  2 x² - 3 x - 1  ) / ( x² + x + 1 )²

 c-à-d    f '( x ) =  (  - x² - 2 x ) / ( x² + x + 1 )²

 c-à-d    f '( x ) = - x (  x + 2 ) / ( x² + x + 1 )²

          Conclusion:    Df  = IR      Dd  = IR

                               f ' : x  →  - x (  x + 2 ) / ( x² + x + 1 )²

            2. Pour avoir le sens de variation de f  cherchons le signe de f '( x ).

                 Comme  ( x² + x + 1 ) ²  > 0   pour tout réel x , f '( x ) est du signe

                de - x ( x + 2 )  pour tout x dans IR.

               Or le trinome du second degré - x ( x + 2 ) s'annule en x = - 2  

              et   x = 0.

               A l'extérieur des racines il est du signe de a = - 1 donc négatif.

               Entre les racines il est du signe de - a donc positif.

              Conclusion:

 x - ∞                 - 2                   0           + ∞ 
 f ' ( x )        -                 0        +        0         -
 f ( x )        ↓           - 1 / 3      ↑        1          ↓

            3. Donnons les équations des deux tangentes demandées.

                 Comme f ' ( - 2 ) = 0    et    f '( 0 ) = 0   les tangentes à  ( C ) aux points

                d'abscisses - 2 e t 0 sont hrizontales.

               L'équation de la tangente à ( C ) au point d'abscisse - 2 est  y = f( - 2 )

                c-à-d  y = - 1 / 3

               L'équation de la tangente à ( C ) au point d'abscisse  0  est  y = f( 0 )

                c-à-d  y = 1

              Conclusion:   La tangente à ( C ) au point d'abscisse - 2 est d'équation y = - 1 / 3

                                   La tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 est d'équation y = 1


     EX . 6.   Reprendre la fonction f de l'exercice n ° 5 .

                 Dire où elle admet des extrémums relatifs. 


    REP.          Il apparait que f '( x ) s'annule en changeant de signe en

                     x  = - 2  et   en x = 0.

                   Ainsi f admet deux extrémums en   x  = - 2  et   en x = 0.

                 • Comme    f ' ( x ) < 0    pour x < - 2

                        puis     f ' ( x ) > 0   pour    - 2 < x < 0 

                    f admet un minimum relatif  en x = - 2 .

                    Ce minimum relatif est f( - 2 ) = - 1 / 3

                   • Comme    f ' ( x ) > 0   pour    - 2 < x < 0 

                               puis   f '( x) < 0  pour x > 0

                     f admet un maximum  relatif  en x = 0 .

                        Ce maximum relatif est  f( 0 ) = 1

                 Conclusion:   f admet un minimum relatif  en x = - 2 .

                                      f admet un maximum  relatif  en x = 0 .