INFO EX1 DV n°6 TS1 mardi 18 déc. 2012

      INFO EX1      DV  n° 6          TS1            donné  le    4 / 12 / 12  pour le     18  /12 / 2012            

         EXERCICE 1

             1.

                   a1.png 

                a. Montrer que:

                                          a2-1.png

                     c'est-à-dire  que la suite  ( e14-1.png )   est bornée par 0 et 1 sur IN*.

                b. Montrer que la suite (e14-1.png )   admet une limite et que :     

                               a4.png 

              2.

                             a6.png 

                    a. Montrer que :

                              a7.png

                   b. Montrer que:

                                   a8.png

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       REPONSE:

    1.a. Démontrons par récurrence sur IN* que:

                     e10.png

               et 

                      a2-1.png 

           • n = 1

                  On a :  

                         e2-1.png     

                Ainsi :

                                  e11.png 

                                et 

                                       e3.png              

            • Soit n un entier naturel non nul quelconque.

                    Montrons que si 

                         e10.png

                   et 

                             e4.png 

                  alors  

                         e13.png

                       et 

                          e5.png

                   Considérons :

                       e10-1.png

                        et

                        e4.png

                    Alors:  

                       e6.png 

               On a utilisé la croissance de la fonction racine carrée sur IR+   .

                Conclusion:    Pour tout entier naturel non nul 

                        e14-1.png est défini  et   compris entre 0 et 1 .

               b. Montrons que la suite  converge vers 1.

                 Méthode 1.

                  • La suite  ( e14-1.png  ) est majorée par 1 sur IN.

                          En effet:

                         • •   u0  ≤ 1     car    u0  = - 1

                         • •  e14-1.png ≤ 1    pour tout entier naturel non nul n. 

                  • Montrons que la suite  (e14-1.png )  est croissante sur IN en deux temps.

                       e9.png

                          •  • Puis montrons que la suite est croissante sur IN*.

                         ¤ n = 1

                            On a:  

                                      e16.png     

                                et 

                                   e7.png

                             Donc

                                                    e15.png   

                          ¤ Soit n dans IN* quelconque.

                             e8.png

                          Considérons :

                               e18.png        

                          Finalement la suite est bien croissante sur IN.

                        Comme elle est croissante et majorée elle converge.

                         Soit L sa limite.  

                          On a:   0 ≤  L  ≤ 1   car elle est bornée par 0 et 1 sur IN*.

                          On a  pour tout n dans IN :

                                         e21.png        ( 1  )     

                                   avec  la fonction  

                                    e20.png       

                            qui est définie et continue sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ donc aussi en L.

                                    c-à-d

                                             e23.png  

                                    Comme   on a aussi:

                                                e24.png  

                                       L'égalité    

                                  e21.png

                                  devient par passage à la limite:  

                                  d13.png                                    

              Or 1 est une solution dans l'intervalle [ 0; 1 ] de cette équation.

                         Conclusion:   La suite converge bien vers 1.

       Méthode 2:

                            d2.png

              d3.png

               d5.png

         d6-2.png

              Conclusion:  L'égalité est bien établie sur IN.

             • Montrons à présent que:  

                         a4-3.png                                            

              d7.png

                                                                  a4-3.png

               2.

                     a6.png

                     d8-1.png

            d9.png

                     Conclusion:  L'égalité est prouvée sur N*

               d10-1.png     

                 Remarque:  

                            remarque.png       

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