1S1 21 / 09 / 08
SOUTIEN : Leçon : Généralités sur les fonctions , second degré.
1♦ Quand on a une expression de la forme, a x2 + b x + c où a est un réel non nul ,
b un réel , c un réel on peut mettre l'expression sous la forme :
a ( x + b / (2 a) ) 2 - Δ / ( 4 a )
où Δ = b2 - 4 a c .
Par exemple : - x2 + x + 3 est a x2 + b x + c avec: a = - 1 , b = 1 , c = 3
Aussitôt il vient : Δ = 13 b / (2 a) =- 1 / 2
Ainsi: - x2 + x + 3 = - 1 ( x - 1 / 2 )2 + 13 / 4
Cette forme permet de tracer la courbe ( C ) de la fonction
f : x→ - x2 + x + 3
en prenant l'image de la parabole d'équation y = - x2
par la translation de vecteur: ( 1 / 2 ) vec( i ) + (13/ 4) v ect( j) .
On peut donc résoudre l'équation - x2 + x + 3 = 0 graphiquement
en cherchant les abscisses des points de ( C ) d'ordonnée nulle.
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2♦ Quand on a une équation de la forme, a x2 + b x + c = 0 où a est un réel non nul ,
b un réel , c un réel on peut la mettre sous la forme a x2 = - b x - c.
En traçant la parabole d'équation y = a x2 et la droite d'équation y = - b x - c
on peut résoudre graphiquement a x2 + b x + c = 0 .
Par exemple : On peut donc résoudre l'équation - x2 + x + 3 = 0
graphiquement en cherchant les abscisses des points communs des
courbes d'équations y = - x2 et y =- x - 3 .
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3♦ Quand on a une équation de la forme, a x2 + b x + c = 0 où a est un réel non nul ,
b un réel , c un réel on peut l'écrire: a [ ( x + b / (2 a) ) 2 - Δ / ( 4 a2 ) ] = 0 .
Si Δ > 0 , Δ = 0 alors il est possible de factoriser. ( Donc de résoudre l'équation.)
Si Δ < 0 alors on ne peut pas factoriser . ( L'équation n'a pas de solution.)
Par exemple: L'équation - x2 + x + 3 = 0 rencontrée plus haut
avec a = - 1 , b = 1 , c = 3 , Δ = 13 ,
s'écrit : - 1[ ( x - 1 / 2 )2 - 13 / 4 ] = 0
c-à-d ( x - 1 / 2 )2 - 13 / 4 = 0 ( En divisant par - 1 .)
c-à-d ( x - 1 / 2 )2 - (√(13 / 4) )2 = 0 ( En faisant apparaitre une différence de carrés . )
Ce qui se factorise en : ( ( x - 1 / 2 ) - √(13 / 4) ) ( ( x - 1 / 2 ) + √(13 / 4) ) = 0 .
c-à-d ( x - 1 / 2 - √(13 / 4) ) ( x - 1 / 2 + √(13 / 4) ) = 0 .
c-à-d x = 1 / 2 + √(13 / 4) ou x = 1 / 2 - √(13 / 4) .
c-à-d x = 1 / 2 + (√13) / 2) ou x = 1 / 2 - (√13) / 2) .
c-à-d x = ( 1 + √13 ) / 2 ou x = ( 1 - √13 ) / 2 .
Ce sont les deux solutions de l'équation.
On peut les obtenir directement par :
( - b -√Δ ) / ( 2 a ) et ( - b + √Δ ) / ( 2 a ) sachant a = - 1 , b = 1 , c = 3 , Δ = 13 ,
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4♦ Comment obtenir les réels a , b , c tels que : ( x - 1 ) ( a x2 + b x + c ) = 2 x3 - 3 x2 + 4 x - 3
pour tout réel x ?
• • Le terme constant - 3 s'obtient en multipliant c par - 1 , donc : - c = - 3
Ainsi c = 3 .
• • Le terme 2 x3 s'obtient en multipliant a x2 par x .
Donc a = 2 .
• • Le terme 4 x s'obtient en multipliant c par x et en ajoutant le produit de - 1 par b x .
D'où c - b = 4 c-à-d 3 - b = 4 .
Donc b = - 1
On peut vérifier en développant que : ( x - 1 ) ( 2 x2 - x + 3 ) = 2 x3 - 3 x2 + 4 x - 3
pour tout réel x.
ON POUVAIT PROCEDER AUTREMENT.
Division: 2 x3 - 3 x2 + 4 x - 3 / ( x - 1 )