AIDE

 

 

                     1S1                                                                                                           21 / 09 / 08

                 SOUTIEN :       Leçon : Généralités sur les fonctions , second degré.

 

                     1♦   Quand on a une expression de la forme,  a x2 + b x + c   où a est un réel non nul ,

                          b un réel , c un réel on peut mettre l'expression sous la forme :   

                          a ( x +  b / (2 a) ) 2 -  Δ / ( 4 a )    

                           où     Δ = b2 - 4 a c .

                          Par  exemple :   - x2 +  x + 3   est   a x2 + b x + c    avec:  a = - 1   ,  b = 1   ,   c = 3

                                                      Aussitôt  il vient :    Δ = 13            b / (2 a) =- 1 / 2   

                                                       Ainsi:    - x2 +  x + 3  = - 1 ( x - 1 / 2 )2  + 13 / 4

                                                     Cette forme permet de tracer la courbe ( C )  de la fonction  

                                                      f : x→  - x2 +  x + 3 

                                                      en prenant l'image de la parabole d'équation y = -  x 

                          par la translation de  vecteur:    ( 1 / 2 ) vec( i ) + (13/ 4) v ect( j) .

                         On peut donc résoudre l'équation  - x2 +  x + 3  = 0  graphiquement

                         en cherchant  les abscisses des points de ( C ) d'ordonnée nulle.

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                     2♦   Quand on a une équation de la forme,  a x2 + b x + c = 0      où a est un réel non nul ,    

                          b un réel , c un réel  on peut la mettre sous la forme   a x=  - b x - c.

                         En traçant  la parabole d'équation y =  a x2    et la droite d'équation y = - b x - c

                        on peut résoudre graphiquement  a x2 + b x + c =  0 .

                         Par exemple :  On peut donc résoudre l'équation  - x2 +  x + 3  = 0 

                        graphiquement en cherchant les abscisses des points  communs des

                        courbes d'équations  y = - x2  et     y =- x - 3 .

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                       3♦   Quand on a une équation de la forme,  a x2 + b x + c = 0      où a est un réel non nul , 

                          b un réel , c un réel  on peut  l'écrire:  a [ ( x +  b / (2 a) ) 2 -  Δ / ( 4 a2 )  ] = 0  .

                          Si     Δ > 0 ,  Δ  = 0    alors  il est possible de factoriser. ( Donc de résoudre l'équation.)

                          Si  Δ < 0    alors on ne peut pas factoriser . (   L'équation n'a pas de solution.)

                 Par exemple:     L'équation  - x2 +  x + 3  = 0     rencontrée plus haut

                                                  avec     a = - 1 ,     b = 1 ,     c = 3   ,      Δ = 13 ,

                                       s'écrit   :            - 1[ ( x - 1 / 2 )2  - 13 / 4 ] = 0

                        c-à-d      ( x - 1 / 2 )2  - 13 / 4 = 0                    ( En divisant par - 1 .)

                  c-à-d       ( x - 1 / 2 )2  - (√(13 / 4) )2 = 0    ( En faisant apparaitre une différence de carrés . )

                Ce qui se factorise en :    (  ( x - 1 / 2 )  -  √(13 / 4)   ) (  ( x - 1 / 2 )  + √(13 / 4)   ) = 0  .

                           c-à-d         (   x -  1 / 2   -  √(13 / 4)   ) (  x -  1 / 2  + √(13 / 4)  ) = 0  .   

                             c-à-d      x =   1 / 2   +  √(13 / 4)           ou          x =    1 / 2   -  √(13 / 4) .

                            c-à-d      x =   1 / 2   +  (√13) / 2)           ou          x =    1 / 2   -  (√13) / 2) .

                             c-à-d      x =  (  1  +  √13 ) / 2           ou          x =  ( 1  -  √13 ) / 2 .

                            Ce sont les deux solutions  de l'équation.

                            On peut les obtenir directement par :

        ( - b -√Δ ) / ( 2 a )     et      ( - b + √Δ ) / ( 2 a )    sachant   a = - 1 , b = 1 , c = 3 , Δ = 13 ,               

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           4♦ Comment obtenir les réels  a , b , c  tels que :  ( x - 1 ) ( a x2 + b x + c )  2 x -  3 x + 4 x - 3

               pour tout réel x ?

                • •  Le terme constant  - 3  s'obtient en multipliant     par  - 1  ,  donc  :    - c = - 3   

                           Ainsi  c = 3  .

                • •  Le terme   2 x3   s'obtient    en  multipliant  a x par   .                

                         Donc    a = 2 .

                • • Le terme  4 x  s'obtient en  multipliant par  x et en ajoutant le produit de  - 1  par  b x  .

                    D'où   c -  b = 4       c-à-d     3 - b = 4   .    

                    Donc             b  = - 1

                     On peut vérifier en développant que :    ( x - 1 ) ( 2 x-   x + 3 ) =  2 x -  3 x + 4 x - 3

                     pour tout réel  x.

                    ON POUVAIT PROCEDER AUTREMENT.

                    Division:                 2 x -  3 x + 4 x - 3            /         (  x - 1   )