TEST 1 1ES 29 SEPTEMBRE 2010 55 mn
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Nom : ………… Prénom : ……… Classe : …… Date : ……………….
• Résoudre dans IR l’équation : x² - 3 x + 2 = 0.
On a 1 qui est une racine évidente car la somme des cœfficients est nulle.
1 - 3 + 2 = 0
L'autre racine est don cle produit des racines c'est-à-dire c / a
Or c / a = 2 / 1 = 2
Conclusion : SIR = { 1 ; 2 }
• Résoudre dans IR l’équation : 2 x² + x - 1 = 0
On a : 2 x² + 1 x - 1 = 0 .
- 1 est une racine évidente car 2 - 1 - 1 = 0
On peut dire que la somme des cœfficients des termes de rang pair est
égale à la somme des cœfficients des termes de rang impair.
Ce qui s'écrit ici : 2 - 1 = 1
L'autre racine est donc l'opposé de c / a .
Or c / a = - 1 / 2
Donc l'autre racine est 1 / 2.
Conclusion : SIR ={ - 1 ; 1 / 2 }
• Soit un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
On considère les deux fonctions : f : x → 2 x² de courbe ( P) .
g : x → 2 x² + 4 x + 1 de courbe ( P’ ).
• • Donner la forme canonique de g( x ).
On a : a = 2 b = 4 c = 1
On a : Δ = b² - 4 a ×c
( ON POUVAIT PRENDRE LE DISCRIMINANT SIMPLIFIE Δ ' = b ' ² - a c )
c-à-d Δ = ( 4 )² - 4 ×2 ×1 = 16 - 8 = 8
c-à-d Δ = 8
La forme canonique est:
a x² + b x + c = a ( x + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4 a )
Ainsi ici on a : 2 x² + 4 x + 1 = 2 ( x + 4 / 4 )² - 8 / 8
c-à-d 2 x² + 4 x + 1 = 2 ( x + 1 )² - 1
Conclusion : 2 x² + 4 x + 1 = 2 ( x + 1 )² - 1
• • Dans le repère ci-dessous, tracer les courbe ( P ) et ( P ‘ ).
Faire un tableau de valeurs :
x |
-1 |
- 1/ 2 |
0 |
1 / 2 |
1 |
2 |
2 x² |
2 |
1/2 |
0 |
1 / 2 |
2 |
8 |
2 x² + 4 x + 1 |
-1 |
- 1 / 2 |
1 |
3,5 |
7 |
17 |
Par quelle translation obtient-on (P’) à partir de ( P ) ?
Par la translation de vecteur
- vect( i ) - vect( j )
• Résoudre dans IR l’inégalité 2x² + 4 x + 1 > 0.
On a déjà trouver le discriminant quand on a obtenu la forme canonique.
Δ = 8
Donc Δ > 0
Les racines sont :
( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 4 - √ 8 ) / 4 = ( - 4 - 2√ 2 ) / 4 = ( - 2 - √ 2 ) / 2 = - 1 - √ 2 / 2
( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = - 1 + √ 2 / 2
Nous voulons que 2x² + 4 x + 1 soit positif donc du signe de a = 2.
Nous devons prendre x à l'extérieur des racines en les refusant ici.
Conclusion : SIR = ] - ∞ ; - 1 - √ 2 / 2 [ U ] - 1 + √ 2 / 2 , + ∞[
• Résoudre dans IR l’inégalité 2 x² + 3 x - 5 ≤ 0.
1 est une racine évidente de 2 x² + 3 x - 5 car la somme des cœfficient est nulle.
2 + 3 - 5 = 0
L'autre racine est donc c / a = - 5 / 2
Nous voulons que 2x² + 4 x + 1 soit négatif donc du signe de - a = - 2.
Nous devons prendre x à l'intérieur des racines en les acceptant ici.
Conclusion : SIR =[ - 5 / 2 ; 1 ]
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