INFO EX 3 SYSTEME LINEAIRE

     INFO EX 3  SYSTEME LINEAIRE            MARS 2009

 EX 3

Résoudre dans IR  le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

    x   -  y    + 2 z   =   3            

    2 x  -  y   +  z    =   2                             

    4 x - 2  y  + 2 z   =   4          

 

 / 1   -1  2 |    3  \        
|  2  - 1  1 |    2   |       
 \ 4   - 2  2 |    4   /        

La réponse devra être S = { ( - 1 + z ; - 4 + 3 z , z  )  /   z dans IR }

REPONSE:   Le premier pivot est   1

 / 1   -1  2 |    3  \        
|  2  - 1  1 |    2   |       
 \ 4   - 2  2 |    4   /        

On fait       L ← L   -  2 L1      et   L3     ← L3   - 4 L1     

 On obtient le système équivalent suivant:

 / 1   -1    2 |    3     \        
|  0     1  - 3 |   - 4      |       
 \ 0     2  - 6 |    - 8   /        

    1  est le second pivot.

   On fait   L ←   L3   - 2 L2   

 On obtient le système équivalent suivant:  

 / 1   -1    2 |    3     \        
|  0     1  - 3 |   - 4      |       
 \ 0     0     0 |      0    /        

     Il manque une équation. Nous devons donc prendre l'une des trois

     inconnue comme paramètre.   Prenons z.    z est désormais fixé. Cen'est plus une inconnue.

    Le système  devient en mettant dans les secondles termes en z dans les second membres:

 /    1            -1     |    3 - 2 z        \        
 \     0                1   |   - 4+ 3 z      /       
                   

Le système est triangulaire avec les inconnues x et y.

  L2    donne   y = - 4 + 3 z

 Puis   L1   donne x =  y + 3 - 2 z

                     c-à-d       x = (  - 4 + 3 z ) + 3 - 2 z = - 1 + z

                     c-à-d      x =  - 1 + z

Conclusion: S { (   - 1 + z  ; - 4 + 3 z , z )   /  z soit dans IR  }

   Il y a dans ce cas une infinité de triplets solutions.

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