INFO 3 DS n° 2 21/10/09 1S1

    INFO 3  DS n° 2   1S1    21 /10/ 09

    EXERCICE 3            

  1.Résolution dans IR.

                                    a.  2 x² + x - 3 = 0

                                          1 est une racine évidente de 2 x² + x - 3 = 0

                                           car            2 + 1 - 3 = 0.

                                           L'autre racine est donc   c / a = - 3 / 2 . 

Conclusion.             SIR  = { 1 ; - 3 / 2 }.
                                       b.   2 x² + x - 3 < 0.

                                         a = 2 .       Nous voulons que  2 x² + x - 3 soit du signe de - a.

                                        Donc nous devons prendre x entre les racines , en les excluant ici.   

Conclusion.             SIR  = ]  - 3 / 2  ,  1 [

                                       c.  2 ( x - 1 ) ( x + 3 / 2 ) > 0.

                                            c-à-d     2 x² + x - 3 > 0.   

                                            Nous voulons que  2 x² + x - 3  soit du signe de a = 2 .

                                            Nous devons prendre x à l'extérieur des racines.   

Conclusion.             SIR  = ] - ∞  , - 3 / 2  [ U   ] 1 , + ∞ [

                                        d. Mettons 2 x² + x - 3  sous la forme canonique.

                              • Méthode:  2 x² + x - 3 = 2 ( x² + ( 1 / 2 ) x - 3 / 2 )

                  c-à-d     2 x² + x - 3 = 2 ( x² +2 ( 1 / 4 ) x - 3 / 2 )

                  c-à-d     2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 )  ) ² - ( 1 / 4 ) ² - 3 / 2 )

                  c-à-d      2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 )  ) ² - 1/ 16  - 24/16 )                                                                        

                  c-à-d      2 x² + x - 3 = 2 ( ( x + ( 1 / 4 )  ) ² - 25/ 16 )

                  c-à-d           2 x² + x - 3 = 2  ( x - ( - 1 / 4 )  ) ² - 25/ 8

                                 •Méthode :( Possible )

                                          Δ = b² - 4 ac           Donc   Δ = 1² - 4 ( 2 ) ( - 3 ) = 25

                                        Ainsi:     a ( x + b / ( 2 a ) )² -  Δ / ( 4a)  = 2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² - 25 / 8

                                                a = 2   α = - 1 / 4     β = - 25 / 8

Conclusion.        2 x² + x - 3  =   2 ( x - ( - 1 / 4) )² - 25 / 8   

                                     2. La courbe ( C ) de f est d'équation y =  2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² - 25 / 8.

                                         La parabole P est d'équation y = 2 x². 

Conclusion.        ( C ) est l'image de ( P )par la translation de vecteur 

                                - 1 / 4 vect( i ) - 25 / 8 vect( j ).   

                                  3. Par division de    2 x3  - x2 - 4 x + 3  par x - 1 on obtient

                                      2 x3  - x2 - 4 x + 3   = ( x - 1 ) ( 2 x² + x - 3 )     pour tout réel x.

                                      Donc

Conclusion.        a = 2     b = 1    c = - 3   

                                        Résolvons        2 x3  - x2 - 4 x + 3  = 0

                                         c-à-d        ( x - 1 ) ( 2 x² + x - 3 ) = 0                                                  

                                         c-à-d          x = 1  ou    2 x² + x - 3  = 0

                              Comme la résolution a déjà été faite on directement: ( question 1. )

                                    2 x3  - x2 - 4 x + 3  = 0    ssi          x = 1 ou x = - 3 / 2. 

Conclusion.        SIR    = { - 3 / 2 ; 1 }

                              4. Ecrivons la fonction g : x → 3 - 5 / ( x + 1 ) comme composée

                                de fonctions simples, sur l'intervalle ] - 1 , + ∞[ .

                                 Soit   u: x → x + 1

                                 Soit   v: x → 1 / x

                                 Soit     w : x → 3 - 5 x

                                 On a:            g = w o v o u    sur  ] - 1 , + ∞[ .

                         En effet:    Soit x > - 1       on a   

                                      w( v ( u ( x ) ) ) = w( v (x + 1 )) = w( 1 / ( x + 1 ) ) = 3 - 5 ( 1 / ( x + 1 ) ).

 

Conclusion.        g = w o v o u    sur   ] - 1 , + ∞[ . 

                                  Donnons le sens de variation de g.

                                             On a:                                    

                u: x → x + 1  est strictement  croissante et non nulle sur   ] - 1 , + ∞[

                v: x → 1 / x     est strictementdécroissante sur IR - { 0 }.

               w : x → 3 - 5 x  est strictement décroissante  sur IR.

              g est la composée de deux fonctions décroissantes avec une fonction croissante.

                               Conclusion : g est strictement croissante  sur  ] - 1 , + ∞[ .

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