. INFO TEST SUR LES SUITES Avril 2012
EXERCICE 1
Soit la suite numérique récurrente ( un ) définie sur IN par:
u0 = 2
un + 1 = 2 un - 1 pour tout n dans IN.
1. Calculer u1 , u2 , u3 , u4 .
u1 = 2 u0 - 1 = 2 × 2 - 1 = 3
u2 = 2 × u1 - 1 = 2 × 3 - 1 = 5
u3 = 2 × u2 - 1 = 2 × 5 - 1 = 9
u4 = 2 × u3 - 1 = 2 × 9 - 1 = 17
2. Quelle fonction f permet d'obtenir un + 1 à partir de un ?
Soit f ; x → 2 x - 1
On a : f( un ) = 2 ×un - 1
Ainsi :
Conclusion : un+1 = f ( un ) pour tout n dans IN.
3. Un étudiant a émis la conjecture que un = 2n + 1 pour tout n dans IN.
cela vous paraît-il plausible? Expliquer.
OUI. L'égalité est exacte.
On peut déjà la vérifier sur les premiers termes.
Mieux on peut l'établir par récurrence dans IN.
• n = 0
u0 = 2 = 20 +1 L'égalité est vraie pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un = 2n + 1 alors un + 1 = 2n + 1 + 1
Considérons un = 2n + 1 où n est dans IN
Alors en multipliant par 2: 2 × un = 2 × ( 2n + 1 ) = 2n + 1 + 2
D'où 2 × un - 1 = 2n + 1 + 2 - 1 = 2n + 1 + 1
Mais un + 1 = 2 × un - 1
D'où un + 1 = 2n + 1 + 1
Conclusion : L'égalité est bien vraie pour tout n dans IN.
4. La suite ( un ) est-elle arithmétique ?géométrique ? ou quelconque?
Non.
• u1 - u0 = 3 - 2 = 1
u2 - u1 = 5 - 3 = 2
Comme 1 ≠ 2 on a u1 - u0 ≠ u2 - u1
Elle n'est donc pas arithmétique.
• u1 / u0 = 3 / 2
u2 / u1 = 5 / 3
Comme 3 / 2 ≠ 5 / 3 on a u1 / u0 ≠ u2 / u1
Elle n'est donc pas géométrique
Finalement elle est quelconque
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 2.
Soit la suite numérique récurrente ( vn ) définie par :
v0 = 2
vn + 1 = ( 2 / 5 ) vn +1 pour tout n dans IN
1. On pose: wn = vn - ( 5 / 3 ) pour tout n dans IN.
Etablir que la suite ( wn ) est géométrique.
Trouver sa raison q et son premier terme.
Considérons: w n + 1 = vn + 1 - ( 5 / 3 )
Or vn + 1 = ( 2 / 5 ) vn + 1
D'où wn + 1 = ( 2 / 5 ) vn + 1 - ( 5 / 3 )
Mais vn = wn + ( 5 / 3 )
D'où wn + 1 = ( 2 / 5 ) [ wn + ( 5 / 3 ) ] +1 - ( 5 / 3 )
c-à-d wn + 1 = ( 2 / 5 ) wn + ( 2 / 5 ) × ( 5 / 3 ) + 1 - ( 5 / 3 )
c-à-d wn + 1 = ( 2 / 5 ) wn + 2 / 3 + ( 3 / 3 ) - ( 5 / 3 ) = ( 2 / 5 ) wn + 0
c-à-d wn + 1 = ( 2 / 5 ) wn pour tout n dans IN
De plus w0 = v0 - ( 5 / 3 ) = 2 - ( 5 / 3 ) = 1 / 3
Conclusion : La suite ( wn ) est géométrique de raison 2 / 5
et de premier terme w0 = 1 / 3
2. Donner le terme général de la suite ( wn ) en fonction de n.
En déduire vn en fonction de n.
On a : wn = w0 × qn
Or w0 = 1 / 3
Conclusion : wn = ( 1/ 3 ) × ( 2 / 5 )n pour tout n dans IN
Or vn = wn + ( 5 / 3 )
Donc vn = ( 1 / 3 ) × ( 2 / 5 )n + ( 5 / 3 )
. Conclusion : vn = ( 1 / 3 ) × ( 2 / 5 )n + ( 5 / 3 ) pour tout n dans IN
3. On pose kn = 1 / ( n + 1 ) pour tout n dans IN.
a. Donner le sens de variation de la suite ( kn ).
Considérons:
kn + 1 - kn = 1 / ( n + 1 + 1 ) - 1 / ( n + 1 )
c-à-d kn + 1 - kn = [ n + 1 - ( n + 2 )] / ( n + 2 ) ( n + 1 )
c-à-d kn + 1 - kn = - 1 / ( n + 2 ) ( n + 1 )
Anixi : kn + 1 - kn < 0 pour tout n dans IN .
Conclusion : La suite ( kn ) est décroissante dans IN.
b. La suite ( kn ) est - elle bornée ?
OUI
On a : 0 ≤ 1 / ( n + 1 ) ≤ 1 pour tout n dans IN.
Donc la suite ( kn ) est minorée par 0 et majorée par 1 .
Conclusion : La suite ( kn ) est bornée sur IN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------