Bac 2010 S. Ex 1 partie A

                                       INFO     BAC S          22 JUIN 2010

                   EXERCICE 1

       PARTIE A

         1.Vérification de u solution particulière de (E ).

           Soit x dans IR.

           On a :

         u(x) = x e- x 

         u'(x) = - x e - x   + e - x 

 Par sommation membre à membre on a:

      u(x) + u'(x) = e- x

  Conclusion:   Oui . u est bien une solution 

    particulière de (E).

2. Résolution de y + y' = 0.

     On a l'équation différentielle: 

          y ' = - y     c-à-d    y ' = -1  y

     Elle est de la forme   y ' = y

      avec a = - 1

      Directement la solution générale

       est de la forme:

           x  →  C eax     avec C dans IR.

       Ici on obtient donc:

     Conclusion:

       x  →  C e- x     avec C dans IR.

   3. Justification de l'équivalence.

       Soit v une fonction définie et

      dérivable dans IR.

   v est solution de ( E ) signifie

    v' + v = e- x     pour tout x dans IR.

   C'est - à - dire , comme u' + u = e- x 

     v' + v - ( u' + u ) = e- x -  e- x 

        pour tout x dans IR.

   c-à-d

     v' - u ' +  v - u  = 0    sur IR

 Ce qui signifie

      ( v - u )' + ( v - u ) = 0  sur IR

    c-à-d

       v - u  est solution de ( E' ).

 Concusion: L'équivalence est prouvée.

  4. Résolution de ( E ).

     La forme de la solution

         générale v de ( E ) est 

     telle que:

     v - x e- x  =  C e- x   pour tout réel x.

         Ainsi en transposant on a:

      v : x → x e- x + C e- x   

    avec C dans IR.

     Conclusion:

          v : x  ( x + C ) e- x 

           avec  C  dans IR.

5.Recherche de g.

     On veut  g( 0 ) = 2

     Imposons:   0 + C e- 0  = 2

     Il vient  C =  2

       Conclusion:

        g : x → (x + 2 ) e- x 

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 generale



    solution