INFO BAC S 22 JUIN 2010
EXERCICE 1
PARTIE A
1.Vérification de u solution particulière de (E ).
Soit x dans IR.
On a :
u(x) = x e- x
u'(x) = - x e - x + e - x
Par sommation membre à membre on a:
u(x) + u'(x) = e- x
Conclusion: Oui . u est bien une solution
particulière de (E).
2. Résolution de y + y' = 0.
On a l'équation différentielle:
y ' = - y c-à-d y ' = -1 y
Elle est de la forme y ' = a y
avec a = - 1
Directement la solution générale
est de la forme:
x → C eax avec C dans IR.
Ici on obtient donc:
Conclusion:
x → C e- x avec C dans IR.
3. Justification de l'équivalence.
Soit v une fonction définie et
dérivable dans IR.
v est solution de ( E ) signifie
v' + v = e- x pour tout x dans IR.
C'est - à - dire , comme u' + u = e- x
v' + v - ( u' + u ) = e- x - e- x
pour tout x dans IR.
c-à-d
v' - u ' + v - u = 0 sur IR
Ce qui signifie
( v - u )' + ( v - u ) = 0 sur IR
c-à-d
v - u est solution de ( E' ).
Concusion: L'équivalence est prouvée.
4. Résolution de ( E ).
La forme de la solution
générale v de ( E ) est
telle que:
v - x e- x = C e- x pour tout réel x.
Ainsi en transposant on a:
v : x → x e- x + C e- x
avec C dans IR.
Conclusion:
v : x → ( x + C ) e- x
avec C dans IR.
5.Recherche de g.
On veut g( 0 ) = 2
Imposons: 0 + C e- 0 = 2
Il vient C = 2
Conclusion:
g : x → (x + 2 ) e- x
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generale
solution