METHODE D'EULER POUR EXP AVEC ALGOBOX

                      METHODE D'EULER AVEC ALGOBOX   POUR EXP                  TS2        nov. 2011

      INFORMATIONS:

                      On dispose des informations suivantes:

                        f est une fonction définie , dérivable sur IR.

                         f ' = f   sur IR

                        f( 0 ) = 1

      OBJECTIF     

                  On veut la courbe de f approchée par un ligne polygonale sur [ 0 ; + ∞ [

                   en fait sur un intervalle [ 0 ; B ].

                     f est une primitive de f '.

       . METHODE

                   On utilise déjà le fait que f est dérivable en tout réel a.

                    Ainsi il existe une fonction ε définie au voisinage de 0 et de limite nulle en 0

                     et il existe un réel noté f '( a ) tels que :

                      f( a + h ) = f(a ) + h× f ' ( a ) + h ×ε( h )

                     pour tout réel h tel que a + h soit dans

                     l'intervalle de définition de f.

                    On dispose donc de l'approximation affine :               

                    f( a + h ) ≈ f(a ) + h f ' ( a )  pour h voisin de 0               

            Ici :   a = 0          f( a ) = f( 0 ) = 1

            •  Le point M0   est de coordonnées ( 0 ; 1 )

             •  f( 0 + h  ) ≈ f( 0 ) + h f ' ( 0 )

   c-à-d     f( 0 + h  ) ≈ 1 + h f ( 0 ) 

   c-à-d      f( 0 + h  ) ≈ 1 + h                    car  f( 0 ) = f ' ( 0 ) = 1

               Le points  M1     est de coordonnées  ( 0 + h ; 1 + h )

            • f( (O + h ) + h ) ≈ f( 0 + h) + h f '( 0 + h )

 c-à-d      f( (O + h ) + h ) ≈ 1 + h + h f ( 0 + h )

 c-à-d      f( (O + h ) + h ) ≈ 1 + h +h ( 1 + h )

 c-à-d       f( (O + h ) + h ) ≈ ( 1 + h )2

                 Le points  M2     est de coordonnées  ( 0 + 2 h ; ( 1 + h )2    )

      Ainsi de suite .

               On peut conjecturer que  le point   Mn     est de

               coordonnées  ( 0 + n h ; ( 1 + h ))

              Cela se montre par récurence dans IN.

              Les points  Mn     est de coordonnées  ( 0 + n h ; ( 1 + h ))

       La suite des points  points  Mn     permet de considérer

      la liste de segments [ Mk  Mk+1 ]   avec k dans IN permet de construire

     un ligne polygonale qui approche la courbe de f sur IR+  .

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