EX 2: Sur les formes indéterminées TS Sept 2012

                              EXERCICE 2    SUR LES FORMES INDETERMINEES    TS  SEPT 2012

          EXERCICE 2

            Soit    n dans IN*.

                        On considère :

                                        vn =  ( n + 1 ) / n2

                                       wn =   1 / ( n + 2 ) 

                                        un =  vn   /  wn  

               Donner les limites des suites ( vn ) , ( wn ) et ( un ).

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     Réponse : 

          •  Soit n dans  IN*.

           Pour  ( n + 1 ) / n2  , le quotient des termes de plus haut degré est: 

             n / n2  = 1 /n

          Ainsi :  

                      lim     vn =  ( n + 1 ) / n2   = lim  1 / n = 0

                     n → + ∞                               n → + ∞

               Conclusion :     lim     vn =  0

                                       n → + ∞  

          •  On a directement: 

                lim wn      =      lim  1 / ( n + 2 )    =    lim 1 / n  = 0

                n → + ∞                n → + ∞                     n → + ∞

                Conclusion :        lim wn   =    0

                                           n → + ∞  

        • Pour la suite ( un )  comme un =  vn   /  wn   si l'on

             " passe à la limite "  on obtient une  FORME INDETERMINEE.

                lim   vn   /  wn    = 0 / 0    DANGER    ATTENTION 

                  n → + ∞             AUCUNE SIGNIFICATION

           Nous sommes dans une impasse.

          Nous devons essayer de" lever la forme indéterminée".

         Modifions l'écriture de un  .

         On a : 

           egalite-921.gif

         Le terme de plus haut degré du numérateur est n2   .

         Le terme de plus haut degré du dénominateur est n2   .

             Soit n dans IN*

             simplif.gif   

     Ainsi :   

           lim111.gif

      On a bien levé la forme indéterminée.

          Conclusion:         lim un      =  1

                                 n → + ∞