INFO DV n° 3 TS 19 / 10/12

                    INFO      DV  n° 3     TS    19/10/12      

 EXERCICE 1

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

                  Soit A le point d'affixe - i et B le point d'affixe 2.

                  Soit z un nombre complexe différent de 2.

                  On note x = Re( z ) et y = Im( z )

                    On pose

             1. Donner en fonction de x et y les parties réelle et imaginaire de Z.

             2. Déterminer l'ensemble (E ) des points M du plan d'affixe z tels que

                   | Z | = 1. Représenter cet ensemble.

             3. Déterminer l'ensemble ( G ) des points M du plan d'affixe z tels que 

                 Z soit un nombre réel .   Représenter cet ensemble.

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          REPONSE:

           1. Donner en fonction de x et y les parties réelle et imaginaire de Z.

                       Ainsi:

            2.  Déterminer l'ensemble (E ) .

            3. Déterminer l'ensemble ( G ).

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     EXERCICE 2 

                Soit le polynôme P( z)  tel que :

                 1. Trouver P( 4 ).

                 2. Déterminer trois réels a , b , c tels que:  

                      Pour tout nombre complexe z 

                3. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

                    P( z ) = 0

                4.  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct .

                    Placer les points A( 4 ) , B( 1 + i √3  )  et C( 1 -  i √3 ).

               5. a.  En déduire la nature du triangle ABC.

                  b.  Soit I le milieu du segment [ C A ].

                   Donner l'affixe du point D image du point B par la symétrie

                   centrale S_I  de centre I.

                   c.  Que peut-on dire du quadrilatère ABCD?

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           REPONSE:

           1.    P( 4 ) = 0 

                    En effet:  

         2.   Déterminons les réels a , b , c.

          •  Méthode :

                •    Autre méthode:( par identification des coefficients.)

        On part de :

               P( z ) =  ( z - 4 ) ( a z² + b z + c )        pour tout nombre complexe z

   c-à-d

       z³ - 6 z² + 12 z - 16   = ( z - 4 ) ( a z² + b z + c )        pour tout nombre complexe z

       En deloppant en réduisant et en ordonnant le membre de droite il vient:

      z³ - 6 z² + 12 z - 16   = a z³ + b z² + cz - ( 4  a z² + 4  b z +  4 c )

           c-à-d

       z³ - 6 z² + 12 z - 16   = a z³ + b z² + cz - 4  a z² - 4  b z -  4 c 

        c-à-d 

       1 z³ - 6  z² + 12 z - 16   = a z³ + ( b  - 4 a ) z² + ( c - 4 b ) z  -  4 c    pour tout nombre complexe z

          PAR IDENTIFICATION :

           1  =  a 

          - 6  =   b - 4 a

          12  =   c - 4 b

           - 16  = - 4 c  

     On résoud le système: il vient

           a = 1  

           b = - 6 + 4 a = - 6 + 4 = - 2

           c = 12 + 4 b = 12 - 8 = 4 

            c = 4

           Conclusion : 

              a  = 1         b = - 2     c = 4 

          •   Autre méthode : ( par les identités remarquables)

                   On écrit P( z ) et P( 4 ) en parallèle:

                  P( z ) =     z³  - 6 z²  + 12 z - 16

                  P( 4 ) =     4³  - 6 × 4² + 12 × 4 - 16

                ---------------------------------------------------    Par soustraction puis factorisation il vient:

             P( z ) - P( 4 ) = z³ - 4³ -  6 ( z² - 4² ) + 12 ( z - 4 ) 

     c-à-d   grace aux identités remarquables

           P( z ) - P( 4 ) = ( z - 4 ) ( z² + 4 z + 4² ) - 6 ( z - 4 ) ( z + 4 ) + 12 ( z - 4 )

     c-à-d     en factorisant par z - 4

          P( z ) - P( 4 )  = ( z - 4 ) [ z² + 4 z + 1 6 - 6 ( z + 4 )  + 12  ]

   c-à-d

         P( z ) - 0 = ( z - 4 ) [ z² + 4 z + 16 - 6 z - 24 + 12 ]

    c-à-d

         P( z )  = ( z - 4 )( z² - 2 z  + 4 )

                Conclusion :

                a = 1     b = - 2     c = 4 

        3. Résolvons P( z ) = 0

         4. Représentation:

         5. a.  Déduisons la nature du triangle ABC.

                   Il est équilatéral.

               • Les points C et B ont des affixes conjuguées.

                Ils sont donc symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

                 L'axe des abscisses est donc la médiatrice du segment [BC]

                Or A est sur l'axe des abscisses. On a  donc  AB = AC

               Déjà le triangle ABC est isocèle en A

               •   De plus  AB = BC  .

                           En effet:

                      AB =   | z_B - z_A | = | 1 + i √3  -  4 | = | - 3 + i √3  | = √( (- 3 )²  + (√3 )²  )  = √12

             et    BC  =    | z_C - z_B | =  | 1  - i √3  -  ( 1+ i √3) | =  | - 2i√3  | = 2√3   = √12

                  Le triangle ABC est donc aussi isocèle en B.

         Conclusion : Le triangle ABC est équilatéral. 

               b.  Donnons l'affixe du point I.

                  z_I  = ( z_C + z_A ) / 2   =   ( 1 - i √3  +  4 ) / 2 =  ( 5- i √3   ) / 2

           Conclusion : Le  point I a pour affixe   ( 5 - i √3   ) / 2

                   Donnons l'affixe du point D.

                     On a : 

                              D= S_I ( B )

                          c-à-d

                          I est le milieu du segment [BC].

                           Ainsi:  ( z_B  + z_D ) / 2 = z_I   

                        Donc        z_D = 2 z_I - z_B

               c-à-d          z_D = 2 [(  5 - i √3  ) / 2 ]  - ( 1 + i √3 ) =    5 - i √3 -1 - i √3

               Conclusion:    z_D =  4 - 2  i √3 

             c. Nature du quadrilatère ABCD.

                 La quadrilatère ABCD est un parallélogramme car ses diagonales

               se coupent en leur milieu I.

                De plus les côtés consécutifs [AB] et [ BC]   sont de même longueur.

                   Conclusion : Le quadrilatère ABCD est un losange.  

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         EXERCICE 3     

                Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

                   Soit la fonction  définie sur ] - ∞  ; 4,5 [  U ] 4,5  ; + ∞[

        1. Trouver deux réels a et b tels que pour tout réel x distinct de  9 / 2 on aît

       2. Etudier les variations de f .

       3. Soit la suite récurrente ( u _n )  définie sur  [[  5  , +∞ [  par :

                    u₅ = 2

                     u_{n + 1}  = f( u_n  )   pour tout entier n dans  [[  5  , +∞ [ .

           a. Donner le sens de variation de la suite ( u_n ).

           b. La suite ( u_n ) est-elle minorée par 1 ?

           c. La suite ( u_n  )est-elle convergente ?

              Dans l'affirmative quelle est sa limite?

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     REPONSE:

                           ( Pour utiliser les sens de variation de la fonction f 

                            nous devons avoir   u_n  et  u_n+1 dans  le même intervalle de

                              défintion de la fonction f .    )

         b.  Regardons si la suite est minorée par 1.

             Il suffit de faire une récurrence sur [[ 5 , + ∞ [  pour

             montrer que   1 ≤  u_n    pour tout n  dans  [[ 5 , + ∞ [ .

             • Soit n = 5

                   u₅ = 2

                  Donc    1 ≤  u_n    pour n = 5

            • Soit n dans [[ 5 , + ∞ [ quelconque

               Montrons que si    1 ≤  u_n   alors   1 ≤   u_{n + 1} 

               Considérons    1 ≤  u_n   

               On a vu que    u_n   ≤  2

                Or  f est croissante sur  ] - ∞  ; 4,5 [ 

                 Donc   f( 1 )  ≤  f( u_n )     

               Mais      f( 1 ) = ( 1 - 8 ) / ( 2 - 9 ) = - 7 / - 7 = 1      

                       et      u_{n + 1} = f( u_n )

                Ainsi     1    ≤  u_{n + 1}   

                Conclusion:  La suite est minorée par 1 sur [[ 5 , + ∞ [

      c.  Regardons si la suite converge.

                 Elle est décroissante et  minorée donc elle converge.

                Soit L sa limite finie.

              • Cherchons L

                On a       1 ≤   L  ≤  2

           De plus  la relation  u_{n + 1}  = f( u_n )  donne pour n grand

                                 L = f ( L )  

               car       u_n   tend vers L quand n tend vers +∞

                           et   f( x ) tend vers  f( L ) quand x tend vers L

             Considérons:     L = f( L )    avec    1 ≤ L ≤  2

              On a :      L = ( L - 8 ) / ( 2 L - 9 )

              c-à-d       L ( 2 L - 9 ) = L - 8

               c-à-d     2 L² - 9 L = L - 8

             c-à-d       2 L² - 10 L + 8 = 0

            c-à-d      L² - 5 L + 4 = 0

           1 est une racine évidente car 1 - 5 + 4 = 0

          L'autre racine est:        c / a = 4 / 1 = 4

           Cette équation donne 1 et 4 comme racines.

           Mais 4  est rejetée   car   4  >  2

           Par contre   1   convient .

          On obtient finalement:

            Conclusion:   L = 1     La suite ( u_n ) converge vers 1