LISTE D' EXERCICES SUR LES BARYCENTRES OCT 2008 1S
EX. 1 1. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•B----•----•M
2. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•M----•----•B
EX . 2 Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ). Soit les points A ( - 2 ; 1 ) , B( 3 ; 1) , C( 0 ; 4 ). Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) . 1. Donner les coordonnées du point H. 2. Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ). a. Trouver les coordonnées du point G. b. On rappelle que la distance du point A au point B est : AB =√( ( xB - xA )² + ( yB - yA )² ). Calculer AB. c. Réduire le vecteur vect( MA ) + 3 vect( MB ) +2 vect( MC) puis donner sa norme. 3. Déterminer l'ensemble ( U ) des points M du plan tels que les vecteurs suivants soient de même norme: 6 vect( AB) vect( MA ) + 3 vect( MB ) + 2 vect( MC ). EX . 3 Soit ABC un triangle quelconque dans le plan. Soit le point B' tel que: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) Soit le point A' tel que : vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ). 1. Ecrire A' comme barycentre des points pondérés B et C pour des coefficients à préciser. 2. Ecrire B' comme barycentre des points pondérés A et C pour des coefficients à préciser. 3 . Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ( B , 3 ) et ( C , 6 ). Montrer que le point G est le point d'intersection des droites ( A A' ) et ( B B' ). EX. 4 Soit ABC un triangle dans le plan . Soit I le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( B , 1 ). Soit J le barycentre des points pondérés ( B , 2 ) et ( C , 1 ). Soit K le barycentre des points pondérés ( C , 2 ) et ( A , 1 ) . Démontrer que les triangles ABC et IJK ont le même "centre de gravité". ( c-à-d isobarycentre.)
EX. 5
Soit le triangle ABC.
Trouver l'ensemble des points M du plan tels que :
vect( MA ) + vect( MB) + vect( MC ) et vect(MB) + 2 vect( MC)
soient de même norme.
( On réduira chacun des vecteurs. )EX. 6
Soit ABCD un parallélogramme direct dans le plan.
Soit E le point symétrique de A par rapport à B.
Soit I le milieu du segment [ CD ].
Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( E , 1 ) , ( D , 2 ) , ( C , 2 ).
Que peut-on dire des points G ,I ,B ?
EX. 7 Soit ABC un triangle équilatéral de coté de longueur a , dans le plan.
Faire une figure avec a = 3 cm.
Soit K le point du plan tel que 4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC )
soit le vecteur nul.
1. Exprimer K comme barycentre des points pondérés A ,B ,C pour des
coefficients à préciser.
2. Montrer alors que K est sur la médiatrice du segment [ AC ] .
3 . Trouver la distance BK.
EX. 8
Soit ABCD un tétraèdre ( Ainsi les points A , B ,C, D sont des points non coplanaires. )
Faire une figure en perspective cavalière.
Soit G l'isobarycentre des points A , B , C , D . Soit L le milieu du segment [DC].
Soit J le milieu du segment [ BC ].
1. La droite ( AG ) coupe le plan ( BCD) en un point I.
Que peut-on dire de ce point I ?
2 . Placer le point G.
3. Soit M un point du segment [ AB ].
a. M est-il dans le plan ( ABG ) ?
b. Quelle est l'intersection des plans ( ABG ) et ( BCD ) ?
c. Soit F le point du segment [ AB ] tel que:
vect( AF ) = (3 / 4 ) vect ( AB).
Dans le cas où M ≠ F que peut-on dire de l'intersection de la
droite( MG ) avec le plan (BCD ) ?