INFO DV n° 7 TS 17 janvier 2015

                    INFO    DV n° 7   TS1     du 17 janvier 2015 

     EXERCICE  bac.    

          On a :

                          77w77w77w 1

 

                        204w

        Partie A.

          1. Soit

                 51w

                a. Calcul de g ' ( x ) et dérivabilité.

                       g est définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ comme 

                       somme de telles fonctions.

                       On a :

                               69w

    Mais :  

       71w

                 70w

            b. Variations de g.

                    On a :  3 x2 + 3 x + 2  > 0       pour tout  x dans l'intervalle ] 0, + ∞ [

                       comme de réels strictement positifs.

       Ainsi      g ' ( x ) est du signe de x − 1  pour tout  x dans l'intervalle ] 0, + ∞ [

             On a :   g ' > 0 ssi   x > 1

                          g ' < 0 ssi    0 < x < 1

                          g ' ( 1 ) = 0

                 Conclusion:   g est strictement croissante sur l'intervalle [1 , + ∞ [

                                             g est strictement décroissante sur l'intervalle  ] 0 , 1 ]

               Tableau de variation:

                  72w   

                     g ( 0 ) = 1 - 1 - 2 ln ( 1 ) + 1 = 1

             On constate que sur l'intervalle   ] 0 , + ∞ [  g admet un minimum  en x = 1

          Donc 

             Conclusion:            g > 0 sur l'intervalle  ] 0 , + ∞ [  

       2. a. Recherche des limites de f en 0+ et + ∞.

          • En + ∞.

            On a :

                             77w77w 1             

               Or 

                             75w

             Ainsi :

                        76w

                 c-à-d

            Conclusion:

                        78w

       • En 0 à droite.

             Soit x > 0  .  

                     On  a :

                       124we

          On a :

                   80w

                  et 

                    46we

                Donc 

                     44we

                    et 

                    45we

                Conclusion:

                 100w     

      b. Montrons que 

                  102w

            La fonction f est définie et dérivable dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [ comme somme

            et produit de telles fonctions.

         1010

          La fonction dérivée de la fonction x → x − 2     sur  IR*    est     x → − 2  x −  3

         Ainsi:

             105w

     c-à-d

                107w        

               Conclusion:

             102w 

        Ainsi     f '( x ) est du signe de g(x ) pour tout x dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [

            Tableau de variation de f :

                       109w

    B. Partie.

      1. Soit h( x ) = x + ln x     pour tout x dans  ] 0 , + ∞ [.

    a.  •Donnons le sens de variation de h .

           h est une fonction définie et dérivable dans l'intervalle  ] 0 , + ∞ [

           comme somme de telles fonctions.

      Soit x > 0

              On a :

                          h ' ( x ) = 1 + 1 / x

           Or              1 + 1 / x  > 0

            Donc    h ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [

       Conclusion:   La fonction h est strictement croissante sur  ] 0 , + ∞ [

         •   Existence et unicité de α  dans [ 0, 4 ; 0,7 ].

             Utilisons le Th de la bijection.

      Commençons par vérifier ses hypothèses pour la fonction h.

         • •  La fonction h est définie et continue ( car dérivable ) sur

                l'intervalle   ] 0 , + ∞ [  donc aussi sur l'intervalle  [ 0, 4 ; 0,7 ].

        • • La fonction h est strictement croissante sur    

             l'intervalle   ] 0 , + ∞ [  donc aussi sur l'intervalle  [ 0, 4 ; 0,7 ].

      • •   Comme h( 0 , 4 ) ≈ − 0,5  et h( 0,7) ≈ 0,3 on a 0 compris entre 

            h( 0 , 4 )    et   h( 0,7).     ( c-à-d    h( 0,4) ×  h( 0,7) < 0   )

         Nous sommes en mesure d'utiliser ce Th. de la bijection.

       Conclusion :

             Il existe un unique réel dans l'intervalle  [ 0, 4 ; 0,7 ] ,noté α ,

               solution de l'équation h( x )  = 0

     b. Montrons que:

                111w

        On sait que :

      114w

         Conclusion : Le résultat est avéré.

   2. a. Asymptote d: y = x en + ∞ . ( Hors sujet )

       Pour cela montrons que  :

       131w

   On a :

           121w 1

          De plus:

        120w 1

          Conclusion:

               La droite d:y = x est bien en + ∞ une asymptote à la courbe( Γ )  de f.

          b. Positions relatives de ( Γ ) et d

                Soit x > 0

                   On a :

          145w 1

             Ainsi:     f ( x ) − x est du signe de h( x )     pour tout x > 0.

          Or  h est strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [

               et h( α ) = 0.

           On en déduit les positions relatives :        

          Conclusion :

            200w

      3. Courbe de ( Γ ). ( voir en haut )