INFO TEST 2 LOG BTS1 B 21/10/11

 

                           INFO     TEST 2        LOGIQUE       21  OCTOBRE   2011     55 mn    BTS1

              TRAVAIL NOTE SUR 10

  • EXERCICE 1         3 POINTS 

  1 . Traduire sans le connecteur ⇒ la propriété suivante notée ( 1 ):

          2 x - 3 > 0  ⇒  3 - x  ≥  0             où x est dans IR .

  2.   Résoudre ( 1 ) dans IR .

  3. Donner la négation de ( 1 ).

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 Réponse:

    1. Donnons une traduction de ( 1 ) sans le connecteur implique.

             On rappelle que si p et q sont deux propositions ,

                 p ⇒ q      s'écrit    NON( p ) OU q

              Donc (  1 ) s'écrit :     

                      NON( 2 x - 3 > 0 )  OU   3 - x  ≥  0            où x est dans IR .

      c-à-d             2 x - 3 ≤ 0      OU   3 - x   ≥  0        où x est dans IR .

          Conclusion :    ( 1 ) s'écrit sans le connecteur implique

                2 x - 3 ≤ 0      OU   3 - x   ≥  0        où x est dans IR .

        2. Résolution de ( 1 ) dans IR.

          Considérons     2 x - 3 ≤ 0      OU   3 - x   ≥  0        où x est dans IR .

                   c-à-d                2 x  ≤ 3      OU   3   ≥   x               où x est dans IR .       

                    c-à-d                  x ≤ 3 / 2      OU    x  ≤ 3                où x est dans IR .  

                  c-à-d                                               x  ≤ 3                 où x est dans IR .   

              Conclusion :       SIR  = ] - ∞, 3 ] 

  3.   Donnons la négation de ( 1 ).

                    On rappelle que si p et q sont deux propositions ,

                    comme  p  ⇒ q     s'écrit   NON( p ) ou q

                    on a      NON( p  ⇒ q )  qui  est   NON(    NON( p ) ou q  )

                    c-à-d , d'après les lois de Morgan,        p  ET  NON( q )

               La négation de ( 1 ) est donc

               2 x − 3 > 0  ET  3 − x < 0     où x est dans IR .

            Conclusion :          2 x - 3 > 0  ET  3 - x < 0  où x est dans IR .

                      c-à-d      x > 3 / 2  et  x > 3

                      c-à-d      x > 3

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• EXERCICE 2          4 POINTS   

            Soit p , q deux propositions.

    1.   Comparer à l’aide d’un tableau de vérité les propositions :

            p ET ( Non ( p ) OU q )   ;  p     ;  p ET q

    2.    Donner une proposition équivalente à: 

                     p ⇒  (  p  ET NON(  q  ) )

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           Réponse:

     1. Comparaison des trois propositions.

p q NON( p) NON( p)  OU q P ET ( NON( p ) OU q ) P ET q
0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1

         Les deux dernières colonnes sont identiques.

       Conclusion :   P ET ( NON( p ) OU q )    équivaut à  p ET q

       Remarque:     On pouvait aussi utiliser la distributivité de ET par rapport à OU

                    P ET ( NON( p ) OU q )               s'écrit   ( P ET  NON( p ) )  OU  ( p ET  q )

                                                                              c-à-d     p  ET q

                   comme  p ET  NON( p ) est impossible.

    2. Traduisons    p  ⇒  (  p  ET NON(  q  ) )

         Comme déjà vu dans le premier exercice

         elle s'écrit  :   NON( p ) OU (  p  ET NON(  q  ) )

         Conclusion :   Une traduction est

                          NON( p ) OU (  p  ET NON(  q  ) )

          On pouvait  continuer en utilisant la distributivité de OU par rapport à ET

            en écrivant:

              (  NON( p ) OU p  )   ET   ( NON( p ) OU NON( q ) )

        c-à-d      NON( p ) OU NON( q )

             sachant que   NON( p ) OU p   est toujours vraie.

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•EXERCICE 3       3 POINTS   

      Donner la négation des propositions ou propriétés suivantes:

          a.   ( 2 x + 1 , y )  ≠ ( - 2 ; 4 )      où x et y sont dans IR

          b.     5 > 2   ⇒  (  1000 est pair  )     ( ⇒ est le symbole  implique )

          c.   ( x + 1 ) ( x + 4 ) < 0

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                 a. La négation est :   ( 2 x + 1 , y )  = ( − 2 ; 4 )      où x et y sont dans IR

                       On peut si l'on veut continuer en disant:

                                                    c-à-d      2 x + 1 = − 2   ET   y = 4

                                                    c-à-d       x =  − 3 / 2     ET     y = 4

                b.  La négation est :  5 > 2   ET     1000 est impair   

                               car  la négation de   p ⇒ q     est      p ET  NON( q)

               c.  La négation est :  ( x + 1 ) ( x + 4 ) ≥ 0

                                                                                 où  x est dans IR

                  On  peut  continuer en disant :

                           c-à-d     x est à l'extérieur de l'intervalle  ] − 4 ; − 1 [

                          c-à-d      x est dans   ] − ∞ ; − 4  ] U [ − 1 , + ∞ [

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•EXERCICE  4         ( Si vous avez le temps )

         Soit la phrase:  «  Pour tout réel x  il existe un entier relatif n

                  tel que  n ≤  x   ou    x <  n + 1  »

       Traduire de façon symbolique cette phrase puis exprimer sa négation.

              ( n s'appelle la partie entière de x. Elle est notée E( x ) en maths. )

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     Réponse:

             L'écriture symbolique de la phrase est :

                  symbolique-1.gif

             Sa négation est:

                  symbolique-2.gif

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