INFO Devoir maison n°4 TS spé maths

                               INFO  Devoir maison n°4           2015   spé  maths

           EXERCICE :

                        u0 = 0

                       v0 = 1

                    Grt47

       Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites ( un ) et ( vn ).

    1. Calculer u1 et v2 .

                     Mz2 2

  2. On considère l'algorithme suivant:

         Agl1

  2. a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2.

           Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des

         variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

 k    w    u   v
1    0   0,5   2 / 3
2     0,5        7 / 12   11  /  18

        •  Quand  k = 1:               w = 0        u = 1 / 2        v = 2 / 3       

        •  Quand   k = 2:

                    w = 0,5        u = ( 1 / 2  + 2 /3  ) / 2 = 7 / 12                v = (1 / 2 +  4 / 3  ) / 3 = 11 / 18    

  b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme 

       par rapport à l'estimation étudiée dans cet exercice.

        Pour N donné l'algorithme donne uN et vN  .

3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne Xn  par 

            X478 2

     et la matrice A par :

                  Le45

      a. Vérifier que , pour tout entier naturel n, Xn + 1 = A Xn .

      REPONSE:

     On a :

             Grt47

             c-à-d

                      Prep58

              c-à-d  

                         Hz46

           Mais

      Lj49           Le45            X478 2

       Conclusion:

            pour tout entier naturel n, Xn + 1 = A Xn .

      b. Démontrer par récurrence que Xn = An X0.

          REPONSE:

          Faisons une récurrence sur IN.

           • n= 0

         On a :     Xn = X0

              et         An X 0  = A0 X = I X0 = X0

         Donc on a        An X0 = Xn              pour    n = 0

          • Soit n dans IN quelconque.

                Montrons que si  Xn = An X0   alors  Xn + 1  = An + 1  X0  .

        Considérons :    Xn = An X0    

             alors            A Xn = A An X0   = An + 1 X0 

            Mais               A Xn =  Xn + 1   

            Donc             Xn + 1   =  An + 1 X0 

            Conclusion: L'égalité est prouvée sur IN

  4. On définit les matrices P, P ' et B par:

          Pio56

        a. Calculer le produit P P '.

                On admet    P' B P = A

                Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,  An = P' Bn P.

            REPONSE:

             •   Avec la calculatrice 

                   Conclusion:         P  P '  =  I   la matrice unité

        •    Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,  An = P' Bn P.

            ♦  n = 0

            On a :      An =A0 = I              et       P' Bn P =    P' B0 P =   P' I P = P'  P

              Mais comme P P ' = I  on a  aussi P ' P = I. 

            Donc    P' Bn P = I

                 Ainsi l'égalité  An = P' Bn P est vraie pour n = 0

          ♦ Soit n dans  IN quelconque.

          Montrons que si  An = P' Bn P  alors  An + 1 = P' Bn + 1 P.

         Considérons :  An = P ' Bn P

            Alors :                A An =A P' Bn P

           Or on a admis que A =   P' B P   dans l'énoncé.

           Donc      An + 1 = P' B P P' Bn P

           c-à-d              An + 1  = P ' B I  Bn P      sachant que P P ' = I

          c-à-d           An + 1 =  P' B  Bn P

           c-à-d               An + 1 = P ' Bn + 1 P

                 Conclusion :  L'égalité est démontrée sur IN 

     b . On admet que pour tout entier naturel.

                     Put57

            En déduire l'expression de la matrice An en fonction de n.

         REPONSE:

        On a    An = P ' Bn P qui se traduit par :

             Kep82 1

        c-à-d  

                  Dam73              

       Conclusion:

                             Fz45p

    5. a. Montrer que pour tout entier naturel n 

                   Dme473

           En déduire les expressions de un et vn en fonction de n.

           REPONSE:

      •  On a:   Xn = An X0      pour tout n dans IN .

           u0 = 0              v0  = 1

             On a :    

                Gzp719         

       On peut écrire:

                 Jeo7348

            c-à-d

             Conclusion :

                  Hzm58

                pour tout n dans IN

       • On a aussi :

                   X478 2

        Donc:      

          Conclusion:          un =  3 / 5  − ( 3  / 5 ) (1 / 6 )n  

                                              vn = 3 / 5 + ( 2 / 5) ( 1 / 6 )n    

                                        pour tout n dans IN.

        b. Déterminer alors les limites des suites ( un ) et ( vn ).

             REPONSE :    

             On a :      − 1 < 1 / 6 < 1

             Donc        lim ( 1 / 6 )n = 0

                               n → + ∞

         Donc   

                       lim [ 3 / 5 − ( 3 / 5 ) ( 1 / 6 )n = 3 / 5

                       n → + ∞

           et       

                     lim [ 3 / 5 + ( 2 / 5 ) ( 1 / 6 )n = 3 / 5

                       n → + ∞

               Conclusion :                  lim un = 3 / 5

                                                          n → + ∞                                                           

                                                         lim vn = 3 / 5

                                                          n → + ∞

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