1.Cours résumé :suites TS sept 2012

                          COURS RESUME SUITES               Septembre 2012

         .I.   Généralités sur les suites

               Soit n0   un entier naturel.

                      1. Notation [[ n0  , + ∞ [.

                         Cela désigne l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à l'entier n0 .

                         Par exemple    [[ 2  , + ∞ [ =  IN - { 0 ; 1 }

                       2. Définition d'une suite numérique.

                            Une suite numérique définie sur  [[ n0  , + ∞ [ est une fonction définie sur  [[ n0  , + ∞ [.

                        3. Exemple.

                                   Soit   u : n →√( n - 3 )  sur   [[ 3  , + ∞ [

                                    u( n ) est noté un  .

                                  On écrit :   un  = √( n - 3 )  pour tout n dans  [[ 3  , + ∞ [ 

                                  On note ( un )n ≥ 3           

                        4. Représentation d'une suite.

                             Le plan est muni  d'un repère orthonormal .

                              Soit la suite  ( un )n ≥ n0  .

                              On la représente sur l'axes des abscisses par les points N(un , 0) pour les

                              entiers  n dans  [[ n0  , + ∞ [ ou on la représente par les points Mn ( n , un  ) 

                               pour les entiers n dans  [[ n0  , + ∞ [ .

                          5. SUITE RECURRENTE.

                              Elle est définie en deux temps .

                               On précise son premier terme puis on donne la relation de récurrence liant 

                               deux termes consécutifs.

                            u n0  = a   où a est une réel fixé.

                            un + 1 = f( un )   pour tout n dans  [[ n0  , + ∞ [ . ( f étant une fonction numérique )

                          6. Exemple.

                                       web-exemple.gif

                              On a ici   f : x → 2 x + 1  la fonction représentée en bleu par la droite 

                             d'équation y = 2 x + 1.

                               La suite récurrente est définie par:  

                                                                         u0 = 1

                                                                        un = f( un )         pour tout n dans IN                       

                             Le WEB permet de mettre sans calcul les termes de la suite sur l'axe des abscisses.

                   7. Raisonnement par récurrence.

                           Soit  P(n ) une propriété définie sur  [[ n0  , + ∞ [ .

                              Il suffit d'établir les deux affirmations suivantes pour 

                             prouver que la propriété P( n ) est vraie pour tout n dans IN.

                             • Pour n =  la propriété est vraie n0 

                             • Soit un entier n quelconque dans  [[ n0  , + ∞ [ .

                                  Si la propriété est vraie pour n  alors elle est vraie pour n + 1.

                      8. Exemple.

                     Etablir par récurrence sur IN que  03  + 13  + ...+ n3  = [  n (n+1) / 2 ]2   pour tout n dans IN

                         Démonstration:

                         • n = 0

                             On a :

                               03  + 13  + ...+ n3  = 0    et     [  n ( n+1 ) / 2 ]2   = 0

                           Donc l'égalité   03  + 13  + ...+ n3  = [  n ( n+1 ) / 2 ]2      est vraie pour n = 0

                      • Soit n dans IN quelconque.

                              Montrons que si  03  + 13  + ...+ n3  = [  n ( n+1 ) / 2 ]2     alors 

                               03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 = [  ( n + 1 ) ( n+2 ) / 2 ]2    .

                            On dispose de   03  + 13  + ...+ n3  = [  n ( n+1 ) / 2 ]2   

                            Ajoutons  ( n + 1 )3    à chaque membre .

                            Il vient :

                           03  + 13  + ...  + n3  + ( n + 1 )3  = [  n ( n+1 ) / 2 ]2    + ( n + 1 )3  

                            Factorisons  ( n + 1 )2    dans le membre de droite.

                          Il vient :

                                  03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 =  ( n + 1 )2  [ ( n / 2 )2 +(  n + 1 ) ]

                         c-à-d 

                            03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 =  ( n + 1 )2  [  n 2 / 4  +(  n + 1 ) ] 

                           c-à-d   en réduisant au même dénominateur

                              03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 =  ( n + 1 )2  [  (  n 2   + 4 (  n + 1 ) ) / 4 ] 

                       c-à-d

                           03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 =  ( n + 1 )2  [  (  n 2   + 4  n + 4  ) ) / 4 ] 

                     c-à-d         sachant   n 2   + 4  n + 4  = ( n+ 2 )2      égalité remarquable

                                    03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 =  ( n + 1 )2  [  ( n+ 2 )2   / 4 ] 

                   c-à-d  

                               03  + 13  + ...+ n3 + ( n + 1 )3 = [  ( n + 1 ) ( n+2 ) / 2 ]2    .      

                Conclusion :   La formule  demandée est prouvée sur IN