INFO EX 1S GEOM ESP JUIN2010

                       INFO   EXERCICE  DE GEOMETRIE DANS L'ESPACE              1S     JUIN 2010

                   EXERCICE    ( D'après ex. bac ) 

                                On dispose d'un cube ABCDEFGH d'arête de longueur  4 cm.

                                On note  I  le milieu du segment [DB].

                                Soit P le plan ( EID )  et  Q le plan ( CAE ).

                                Soit K le point d'intersection de la droite ( AG ) avec le plan P.

                                 1. Reproduire la figure en perspective cavalière. 

                                      Conclusion:  On a la figure ci-dessous.

                                           

                                    2. Que peut-on dire des arêtes [AE] et [CG] ?

                                        On a :

                                       ¤ Chacun des segments  [AE] et [CG] est orthogonal à un même plan ( EFG) qui contient

                                          la face AFGH du cube.

                                     ¤ Dans un cube les arêtes ont la même longueur, ici 4 cm.

                                        Donc :

        Conclusion:    Les arêtes [AE] et [CG] sont deux segments parallèles et de même longueur 4 cm.

                                                          

                                        Pourquoi  les points AEGC déterminent-ils un plan ? Si oui lequel?

                                            Deux droites strictement parallèles de l'espace déterminent un plan.

                                             C'est le cas des droites ( AE ) et ( CG ).

                                              Donc:

                       Conclusion:     Les points AEGC déterminent bien un pan.

                                                    Ce plan, par hypothèse,  est noté Q.

                                  3. a.Le point I est-il dans le plan Q   ?

                                            OUI.

                                           En effet:

                                          Le point I est le centre du carré ABCD car I est le milieu du segment [DB].

                                          Donc le point I est aussi le milieu de l'autre diagonale [AC] du carré ABCD.

                                           Mais le segment [AC] est dans le plan Q.

                                           Donc I est dans Q.

                                        b. Le point I est-il dans le plan P ?

                                              OUI.

                                              En effet:  

                                               Le point  I est dans le plan ( EID ) c-à-d dans P.

                                        c.  Le point E est - il  dans les plans P et Q?

                                                  OUI.

                                                En effet:

                                            Le point  E est dans le plan (EID) et le plan ( CAE ),

                                                 c-à-d ,dans le plan P et dans le plan Q.

                                         d. Quelle est la droite L d'intersection des plans P et  Q ?

                                          Les deux points distincts I et E sont dans les plans non confondus P et Q.

                                          Conclusion: La droite ( EI ) est la droite L d'intersection des plans P et Q.

                                   4. Le point K est - il  dans les plans  P et Q? 

                                                   OUI.

                                                En effet:  

                                      Le point K est sur la droite (AG ), donc est dans le plan Q .

                                      Le point K est dans le plan ( DIB ) donc dans le plan P.

                                       Que peut-on alors dire des points E , K et I ? 

                                       Le point K étant dans les plans P et Q , est sur la droite L d'intersection des

                                        plans P et Q .

                                        Mais la droite L est la droite ( EI ).

                                         Conclusion: Les points E  , K et I sont alignés. 

                                          

                                  5.   Représenter en vraie grandeur le quadrilatère ACGE.

                                         Placer les points I et K .

                                          

                                      ( Cela permet de visualiser les éléments de la figure qui se trouvent

                                        uniquement dans le plan Q.)

                                       Placer le point J symétrique du point I par rapport au point C.

                                 6. On se situe dans le plan Q.

                                      Soit h l'homothétie de centre A et de rapport 1 / 3.

                                         a. Montrer que l'image du point J par h est le point I

                                            c'est-à-dire montrer que

                                                                  

                                        ¤  I est le milieu du segment [AC] .

                                             Donc :                vect( AI ) = vect( IC )

                                         ¤   Comme  J =  SC( I )  on a  :      vect( IC ) = vect( CJ )     

                                        ¤   D'après Chasles on a :    vect ( AJ ) = vect( A I ) +vect ( I C ) + vect( CJ )

                                        Donc :          vect( AJ ) = 3 vect (AI )

                                          c-à-d :

                                      Conclusion:

                                                        

                                       b. Etablir que la quadrilatère EIJG est un parallèlogramme.

                                             ¤  Le quadrilatère ACGE est un rectangle.   

                                                   Donc les segments [AC ]  et [EG] sont parallèles.

                                              ¤ Les points A, I, C, D   sont alignés car  

                                                       vect( AI ) = vect( IC ) =  vect( CJ )     

                                               Ainsi les segments [IJ] et [EG] sont parallèles.

                                               De plus :     AI = IC  =  CJ   = 2 √2   

                                                              et   EC =  4√2

                                           Les segments [IJ] et [EG] sont  aussi de même longueur:    4√2

                                 Conclusion: Le quadrilatère EIJG est un parallèlogramme.

                                       c. Quelle est l'image du point G par h?

                                             C'est le point K.

                                            En effet: ( Situation de Thalès)

                                          ¤ Le quadrilatère EIJG est un paralèlogramme.

                                             Donc  les droites ( EI ) et (GJ ) sont parallèles.

                                         ¤ Les points  A, K et G sont  alignés

                                         ¤ Les point E, K, I sont alignés.

                                              Donc l'homothétie h qui transforme J en I transforme aussi G en K.

                                           En déduire , que dans le plan Q, on a l'égalité vectorielle:

                                                                               

                                                     Cela résulte de h( G ) = K.