EXERCICE : Suite géométrique TS Sept 2012

                       EXERCICE SUR LES SUITES GEOMETRIQUES      TS    Sept 2012

     EXERCICE 

             Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:

                   u0  = 1

                 un + 1  = 0,5 un  - 2   pour tout n dans IN

                On pose vn = un + 4   pour tout  n dans IN 

          1. Montrer que la  suite ( vn )est géométrique.

              Exprimer son terme général en fonction de n.

              En déduire un en fonction de n.

          2. Trouver la limite de la suite ( un ) . 

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              Réponse:

              1. Montrons que la suite ( vn ) est géométrique.

                On ne part pas de vn   mais de vn + 1  .

                L'égalité vn = un + 4   est valable aussi à l'ordre n + 1 puisqu'elle

                est pour tout n dans IN.

              On a :   vn + 1 = un + 1 + 4  

               Mais on sait que  un + 1  = 0,5 u - 2   

              Donc en reportant il vient :

                vn + 1 = 0,5 u - 2  + 4  

               Donc     vn + 1 = 0,5 u  + 2  

            L'égalité  vn = un + 4   qui s'écrit aussi   un   = vn  - 4 

            permet en reportant d'avoir :

              vn + 1 = 0,5 ( vn  - 4  ) + 2  

             c-à-d

                 vn + 1 = 0,5 vn  - 4 × 0,5  + 2

             c-à-d       comme    - 4× 0,5 + 2 = 0

                 vn + 1   =  0,5 v     pour tout n dans IN 

                     dem-1.jpg