Sujet Math.approfondies BTS SIO 2017

                                      BTS SIO      Mathématiques approfondies sujet   2017

                               Services informatiques aux organisations épreuve facultative
     

          EXERCICE       10 points

            Cet exercice envisage plusieurs études réalisées par une société qui pratique des
            sondages auprès de ses clients.
            Les trois parties sont indépendantes.


                                                 PARTIE 1
           La société pratique les sondages par courriel, et a recueilli les données suivantes au
           cours de cinq campagnes de sondage.

 Nombre de clients contactés : x 200 200 250 280 370
Nombre de sondages renvoyés : y 140 135 160 185 260

           1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y, arrondi au centième.
           2. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode
              des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième.

           3. La société souhaite recevoir davantage de sondages, en contactant un plus
              grand nombre de clients.
              En utilisant l’ajustement affine trouvé à la question précédente, estimer le
              nombre de sondages qui seront renvoyés si la société contacte 500 clients, en
              arrondissant ce nombre à la dizaine.

                                                      PARTIE 2

           La société réalise un sondage auprès d’utilisateurs d’internet.

         On considère une personne choisie au hasard dans la population des sondés.
         On définit les évènements suivants :
              A : « la personne utilise internet depuis 5 ans ou plus » ;
              B : « la personne répond au sondage ».
         Les statistiques de la société permettent de dégager les faits suivants :
        • 75 % de la population des personnes sondées utilisent internet depuis 5 ans
           ou plus ;
        • si une personne sondée utilise internet depuis 5 ans ou plus, la probabilité
          qu’elle réponde au sondage est égale à 0,6 ;
        • si une personne sondée utilise internet depuis strictement moins de 5 ans, la
          probabilité qu’elle réponde au sondage est égale à 0,3.
         1. Présenter la situation de l’énoncé à l’aide un arbre pondéré, que l’on complètera.

         2. Calculer  , puis P(B) en détaillant les calculs.    

         3. Calculer PB (A), en arrondissant au millième.
          Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

                                     PARTIE  3
        1. La société étudie le temps mis par les personnes pour renseigner le questionnaire

            relatif à un sondage donné. Elle modélise ce temps, exprimé en minute,
            par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance 12,5 et d’écart
            type 1,8.
            a. Donner un arrondi au dixième du nombre a tel que
                P( 12,5 − a ≤  T  ≤ 12,5 +  a) = 0,95.

            b. Calculer P(T ≥ 15), en arrondissant au centième.
               Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
     

        2. La société remarque que 20 % des personnes qui répondent aux sondages
            renseignent le questionnaire de façon incomplète, et rendent de ce fait le
            sondage incomplet. De plus les personnes qui renseignent un questionnaire
            le font indépendamment les unes des autres.
            Pour un sondage donné, la société considère les 2 000 premières réponses
            reçues, et modélise le nombre de sondages incomplets par une variable aléatoire X 
            aléatoire X qui suit une loi binomiale. 

         a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
         b. Calculer la probabilité que le nombre de sondages incomplets soit infé-
             rieur ou égal à 385, en arrondissant le résultat au centième.

          EXERCICE 2         10 points
 

        Le chiffre d’affaires d’une start-up, dès son lancement, est modélisé par la fonction
        f définie pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] par :
        f (x) = x − 3 + ln(2 x − 4 )
        où x est exprimé en mois et f (x) en dizaines de milliers d’euro.
        On note Cf  la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé

        Rep45
                                 PARTIE 1 : Étude de la fonction f
      1. Un logiciel de calcul formel permet d’établir que pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] :
                f ′(x) = 1 + 1 / ( x − 2 ).
         a. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois expressions A, B, C,
              est correcte. Recopier sur la copie l’expression correcte,sans justification.
               A : f ′( x ) =( x − 1) / (x − 2 )
               B : f ′( x ) = 2 / ( x −2 )
               C : f ′( x ) = x / ( x − 1 )
          b. Quel est le signe de f ′( x ) sur l’intervalle [4 ; 10] ?
          c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10].
              On arrondira les valeurs de f (4) et f (10) au centième.
          d. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois propositions A, B, C est correcte.
               Recopier la proposition correcte, sans justification :
                 • Proposition A : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
                                              dans l’intervalle [4 ; 10], avec α ≈ 4,3 (arrondi au dixième) ».

                 • Proposition B : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
                                            dans l’intervalle[4 ; 10], avec α = 4,42 (arrondi au centième) »,
                 • Proposition C : « L’équation f (x) = 3 admet deux solutions distinctes
                                                α et β dans l’intervalle [4 ; 10] ».
      2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les ré-
           sultats au centième.

x   4   5      6     7    8   9    10 
f (x)  2,39         7,48     

      3. Tracer la courbe Cf dans le repère
               
Rep45
            On pourra choisir 1 cm pour unité.
             Placer sur cette courbe le point A d’abscisse α.
      4. a. Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l’aire s’exprime par
              l’intégrale :
                   
Au9   , en unité d’aire.
          b. Sur l’intervalle [4 ; 8], on approche la courbe Cf par un segment de droite,
               dont les extrémités sont les points de la courbe Cf ayant pour abscisses 4
               et 8.
               En utilisant cette approximation graphique, donner une valeur approchée à l’unité de l’intégrale I.
           c. En déduire la valeur approchée à l’unité de la valeur moyenne de la fonction I sur l’intervalle [4 ; 8].


                                     PARTIE 2 : Interprétations


      1. Combien de mois après son lancement le chiffre d’affaires de cette start-up
           atteint-t-il 30 000 euros, selon le modèle adopté dans cet exercice ?
      2. Donner une estimation du chiffre d’affaires moyen par mois de cette start-up
          entre le 4e et le 8e mois.

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