EX en demi groupe 28/09/12

                 EXERCICE  en demi groupe        28 / 09 / 12             TS1  sur les suites

        EXERCICE 

           On considère deux suites ( un ) et ( vn ) définies sur IN telles que:

       • ( un ) est croissante         • ( vn ) est décroissante        •  lim ( vn - un ) = 0

                                                                                                   n → + ∞

                Ces deux suites sont appelées adjacentes.

          L'objectif de cet exercice est de prouver que deux suites adjacentes sont

          convergentes et ont la même limite.

      1. On considère la suite ( tn ), définie sur IN, par  tn = vn  - un  pour tout n dans IN .

          a. Montrer que la suite ( tn ) est décroissante sur IN .

           b. Démontrer que, pour entier naturel n , t ≥ 0.

      2. a . Démontrer que la suite ( un ) est majorée et que la suite ( vn ) est minorée.  

          b. En déduire que les suites ( un ) et ( vn ) sont convergentes et de même limite.

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