SYSTEME EQUATIONS LINEAIRES

  SYSTEME D'EQUATION LINEAIRE . METHODE DU PIVOT DE GAUSS.     Mars 09  BTS

   II. SYSTEMES LINEAIRES

         •Système triangulaire.

     Un système triangulaire est de la forme :  

 et X qui est la matrice colonne des inconnues

 /  x  \
|   y    |
 \  z  /

Un tel système se résoud facilement .

On trouve z à l'aide de L3  puis y à l'aide L2  puis x à l'aide de L1 en remontant.

   •Système diagonal.

 

 Un système diagonal est de la forme :   

  La matrice du système A est diagonale :

 /  a11    0   0      \         
|    0 a22   0       |
 \   0 0 a33  /  

 Les termes de A situés en dehors de la diagonale principale sont tous nuls.

 Le système s'écrit matriciellement  A × X = B

avec B qui est la matrice colonne des seconds membres

 /  b  \
|   c     |
 \  d  /

 et X qui est la matrice colonne des inconnues

 /  x \
|   y   |
 \  z /

Un tel système se résoud facilement .

 

  • Cas général.

    Le système général est de la forme :

a11   x  + a12  y + a13   z   =  b        L1
a21   x + a22  y +  a23   z =  c         L2
a31   x + a32  y  +  a33  z =  d          L3

La matrice du système A est triangulaire :

 /  a11    a12     a13  \         
|    a21 a22   a23    |
 \  a31   a32 a33  /  

Les termes de A situés en dessous de la diagonale principale sont tous nuls.

Le système s'écrit matriciellement  A × X = B

avec B qui est la matrice colonne des seconds membres

 /  b  \
|    c    |
 \  d  /

 et X qui est la matrice colonne des inconnues

 /  x  \
|   y    |
 \  z  /

  Systématiquement tout  système linéaire peut être rendu diagonal ou triangulaire.

  Pour cela on dispose des transformations suivantes qui change le système en un système équivalent.

    Li  ↔ Lj      On peut permuter deux équations  du système.

   Li  ←  λ Li     On peut multiplier une équation par un réel non nul  λ.

    Li  ←   Li  + λ Lj     On peut remplacer une équation  par elle même ajoutée d'une autre multipliée par un réel.

    EXEMPLE:   Résolution d'un système par la méthode du pivot de GAUSS.

             Résoudre dans R3  le système suivant:

               - 2 x + y + 3 z  = 1            L1

               - x + y + 7 z = - 4               L2

                4 x + 2 y + 9 z = - 9            L3

               Réponse:   S = { - 1 ; 2 ; - 1 }

        Déjà il est plus intéressant d'avoir - 1 comme coefficient devant x que - 2 .

        Ainsi  on fait déjà :              L1  ↔ L2     

                    - 1 x + y + 7 z = - 4                   L1

                           - 2 x + y + 3 z  =                     L2

                      4 x + 2 y + 9 z = - 9                 L3

                     - 1 est le premier pivot.

           Pour faire disparaître x dans    L2    et     L3   on considère :  

              L2  ←   L2  - ( - 2 /  - 1 ) L1       c-à-d        L2  ←   L2  -  2  L1

              L3  ←   L3  - ( 4 /  - 1 ) L1        c-à-d          L3  ←   L3  + 4 L1    

           On obtient le système équivalent suivant:  

                                - 1 x + y + 7 z = - 4             L1

                                             - y - 11  z  = 9               L2

                                          6 y + 37 z = - 25              L3

         Pour faire disparaître y dans  L3    on considère   L3  ←   L3  + 6 L2

            On obtient le système équivalent suivant:

                                       - 1 x + y + 7 z = - 4             L1

  --------------------------------------------------------------------------------

 

                                                   - y - 11  z  = 9               L2

                                                     - 29 z = 29             L3

                         On obtient   z  = - 1    grace à  L3  

                        Puis    y = 11- 9 =    grace à L2

                      Enfin   x = 2 - 7 + 4 = - 1           grace à  L1

a11   x =  b         L1
a22  y =  c         L2
a33  z =  d         L3

a11   x  + a12  y + a13   z   =  b        L1
a22  y +  a23   z =  c         L2
    a33  z =  d          L3

  La matrice du système A est triangulaire :

 /   a11    a12     a13   \         
|     0 a22   a23     |
 \   0 0 a33    /  

Les termes de A situés en dessous de la diagonale principale sont tous nuls.

Le système s'écrit matriciellement  A × X = B

avec B qui est la matrice colonne des seconds membres

 /  b   \
|    c     |
 \  d   /