SYSTEME D'EQUATION LINEAIRE . METHODE DU PIVOT DE GAUSS. Mars 09 BTS
II. SYSTEMES LINEAIRES
•Système triangulaire.
Un système triangulaire est de la forme :
et X qui est la matrice colonne des inconnues
| / x \ |
| | y | |
| \ z / |
Un tel système se résoud facilement .
On trouve z à l'aide de L3 puis y à l'aide L2 puis x à l'aide de L1 en remontant.
•Système diagonal.
Un système diagonal est de la forme :
La matrice du système A est diagonale :
| / a11 | 0 | 0 \ | |
| | 0 | a22 | 0 | | |
| \ 0 | 0 | a33 / | |
Les termes de A situés en dehors de la diagonale principale sont tous nuls.
Le système s'écrit matriciellement A × X = B
avec B qui est la matrice colonne des seconds membres
| / b \ |
| | c | |
| \ d / |
et X qui est la matrice colonne des inconnues
| / x \ |
| | y | |
| \ z / |
Un tel système se résoud facilement .
• Cas général.
Le système général est de la forme :
| a11 x | + a12 y | + a13 z | = b L1 |
| a21 x | + a22 y | + a23 z | = c L2 |
| a31 x | + a32 y | + a33 z | = d L3 |
La matrice du système A est triangulaire :
| / a11 | a12 | a13 \ | |
| | a21 | a22 | a23 | | |
| \ a31 | a32 | a33 / | |
Les termes de A situés en dessous de la diagonale principale sont tous nuls.
Le système s'écrit matriciellement A × X = B
avec B qui est la matrice colonne des seconds membres
| / b \ |
| | c | |
| \ d / |
et X qui est la matrice colonne des inconnues
| / x \ |
| | y | |
| \ z / |
Systématiquement tout système linéaire peut être rendu diagonal ou triangulaire.
Pour cela on dispose des transformations suivantes qui change le système en un système équivalent.
Li ↔ Lj On peut permuter deux équations du système.
Li ← λ Li On peut multiplier une équation par un réel non nul λ.
Li ← Li + λ Lj On peut remplacer une équation par elle même ajoutée d'une autre multipliée par un réel.
EXEMPLE: Résolution d'un système par la méthode du pivot de GAUSS.
Résoudre dans R3 le système suivant:
- 2 x + y + 3 z = 1 L1
- x + y + 7 z = - 4 L2
4 x + 2 y + 9 z = - 9 L3
Réponse: S = { - 1 ; 2 ; - 1 }
Déjà il est plus intéressant d'avoir - 1 comme coefficient devant x que - 2 .
Ainsi on fait déjà : L1 ↔ L2
- 1 x + y + 7 z = - 4 L1
- 2 x + y + 3 z = 1 L2
4 x + 2 y + 9 z = - 9 L3
- 1 est le premier pivot.
Pour faire disparaître x dans L2 et L3 on considère :
L2 ← L2 - ( - 2 / - 1 ) L1 c-à-d L2 ← L2 - 2 L1
L3 ← L3 - ( 4 / - 1 ) L1 c-à-d L3 ← L3 + 4 L1
On obtient le système équivalent suivant:
- 1 x + y + 7 z = - 4 L1
- y - 11 z = 9 L2
6 y + 37 z = - 25 L3
Pour faire disparaître y dans L3 on considère L3 ← L3 + 6 L2
On obtient le système équivalent suivant:
- 1 x + y + 7 z = - 4 L1
--------------------------------------------------------------------------------
- y - 11 z = 9 L2
- 29 z = 29 L3
On obtient z = - 1 grace à L3
Puis y = 11- 9 = 2 grace à L2
Enfin x = 2 - 7 + 4 = - 1 grace à L1
| a11 x | = b L1 | ||
| a22 y | = c L2 | ||
| a33 z | = d L3 | ||
| a11 x | + a12 y | + a13 z | = b L1 |
| a22 y | + a23 z | = c L2 | |
| a33 z | = d L3 | ||
La matrice du système A est triangulaire :
| / a11 | a12 | a13 \ | |
| | 0 | a22 | a23 | | |
| \ 0 | 0 | a33 / | |
Les termes de A situés en dessous de la diagonale principale sont tous nuls.
Le système s'écrit matriciellement A × X = B
avec B qui est la matrice colonne des seconds membres
| / b \ |
| | c | |
| \ d / |