Corrigé bac S 2018 EXERCICE 1

                INFO               Baccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018 
 

    EXERCICE  1           (  6 points )
                            Commun à tous les candidats
            Dans cet exercice, on munit  le plan d’un repère orthonormé.
            On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :

                                  y = 1/2 ( ex + e −x − 2 )
            Cette courbe est appelée une « chaînette ».

            On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points
             de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
            Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
            On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité 
            par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.

                                                  Figbac18

                 Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe
                du point M d’abscisse x strictement positive afin que la largeur de l’arc de
                  chaînette soit égale à sa hauteur.
               
1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions

                    strictement positives de l’équation(E) : e+ e−x − 4 x − 2 = 0.

                  REPONSE:

               La largeur  ( x − ( −  x  ) )  doit être un réel strictement positif.

               considérons        2 x > 0 

               c-à-d     x > 0.

               On impose :

                                   Qs1bc2018

                      Conclusion: On a bien justifié le résultat demandé.
               2. On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
                         f (x) = e+ e− x− 4x − 2.

                   a. Vérifier que pour tout x > 0,
                           f (x) = x( e/ x  − 4 )+ e− x − 2.

                         REPONSE:

                            Qs2bc2018

                  Conclusion: On a bien vérifié l'égalité.
                   b. Déterminer lim f (x).
                                         x→ + ∞

                        REPONSE:

                           Qs3bc2018

               Conclusion: La limite demandée a été établie.
              3. a. On note f′ , la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f′(x),
                      où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.

                   REPONSE:

                    Qs4bc2018

                    Conclusion: On a bien trouvé l'expression de la dérivée demandée sur les réels positifs.
                  b. Montrer que l’équation f 
(x) = 0 équivaut à l’équation :
                         (e)− 4 e− 1 = 0.

                      REPONSE:

                     Qs5bc2018

                     Conclusion: On a bie montré l'équivalence demandée.
                  c. En posant X = e, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour
                    unique solution réelle le nombre ln( 2 +√5 ).

                     REPONSE:

                      Qs6bc2018

                      Qs7bc2018

                  Conclusion:  ln( 2 + √5 ) est bien l'unique solution réelle de f'(x) = 0.
               4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′
                  de f :
     

 x 0         ln( 2+ √5 )      + ∞ 
f ′(x)     −            0           +

                 a. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

                 REPONSE:

                 Qs8bc2018

             Conclusion: Le tableau de variation a été complété.
                 b. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique 
                     solution strictement positive que l’on notera α.

                   REPONSE:

                Considérons:

              •   Sur l'intervalle ] 0 ,  ln( 2+ √5 ) ] .

                  Comme f( 0 ) = 0 et f strictement décroissante sur [ 0 ,  ln( 2+ √5 ) ],

                     f < 0  sur     ]0 ,  ln( 2+ √5 ) ]

                 L'équation f (x) = 0  n'y admet  donc aucune solution.

             •   Sur l'intervalle [  3 , + ∞  [.

                    f( 3 ) # 6,13  et  f est strictement croissante sur cet intervalle.

                      Donc   f > 0 sur cet intervalle .

               L'équation f (x) = 0 n'y admet  donc aucune solution.

             •   Sur l'intervalle [ ln( 2+ √5 ) ,  3].

                  f est définie, continue ( puisque dérivable ) et  strictement croissante.

                 De plus    f( ln( 2+ √5 ) )× f( 3 ) < 0

                 Donc,  d'après un th. important du cours ( "de la bijection" ),  

                    f (x) = 0   y admet  une unique solution.

           Conclusion: OUI. Sur les réels strictement positifs, l'équation  
                  f (x) = 0  admet  une unique solution α.

           5. On considère l’algorithme suivant où les variables a, 
                 b et m sont des nombres réels :  

  Tant que b − a > 0,1       faire :
                         m ← ( a +b ) / 2  
                         Si   e+ e−m − 4m −2 > 0, alors :
                                        b ←m
                         Sinon :
                                  a ←m
                         Fin Si
    Fin Tant que

           a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b 
                  contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
                 Que contiennent-elles à la fin de l’exécution
                 de l’algorithme ?
                 On justifiera la réponse en reproduisant et
                en complétant le tableau ci-contre avec les
                différentes valeurs prises par les variables, à
                chaque étape de l’algorithme.

                    REPONSE:

              Complétons le tableau:    

 m          a           b               b − a  
  2 3 1
2,5 2 2,5 0,5
2,25 2,25 2,5 0,25
2,375 2,375 2,5 0,125
2,4375 2,4375 2,5 0,0625

                     b − a=  0,0625  ne respecte pas  b − a >0,1 donc on ne continue pas.

            Conclusion:       On obtient   a = 2,4375    b = 2,5   à la fin 

          b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question 

               précédente ?

             REPONSE:  

                                             2,4375 ≤  α  ≤ 2,5

         Conclusion:        

              Les valeurs obtenues  donnent un encadrement 

                de la solution strictement positive unique α  de  f( x ) = 0.

     6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux
         États-Unis, a l’allure ci-contre.
        Son profil peut être approché par un arc de chaînette 
        renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
                  largeur     hauteur
        La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au 
        double de la solution strictement positivede l’équation :
      ( E′ ) : e( t /39) + e(− t / 39 )− 4 t / 39 − 2 = 0.
       Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

                 Arche

            REPONSE:

         On a :

      hauteur de la Gateway Arch    = Largeur = 2 t

       avec t solution de ( E ' ).

         On sait que :

                 t solution strictement positive de ( E' ) ⇔  (    x = t / 39  et   ex + e−x  − 4 x − 2 = 0   )

  c-à-d    

               t solution strictement positive de ( E' ) ⇔  α  = t / 39  

c-à-d

                 t solution strictement positive de ( E' ) ⇔  39 α  = t

 Donc :     Hauteur = 2 t = 2× 39 α

              c-à-d    

                    Hauteur = 78 α     mètres

            On peut considérer pour plus de précision:           2,4375  ≤    α  ≤  2,45

         Donc :                   78 ×  2,4375    ≤    α  ≤  78 ×2,5

           c-à-d    

                                    190,125  ≤     hauteur de la Gateway Arch ≤  195             en mètres

           Conclusion:  Avec la précision du mètre on a 

                  190 m      ≤  hauteur de la Gateway Arch  ≤   195  m

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